Свойства проекций

1°. Проекция на ось суммы векторов равна сумме проекций этих векторов, т.е.

(2.2)

2°. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, т.е.

.

Доказательство

Свойство 1^о

Доказательство проведем для двух векторов (для большего числа аналогично).

Пусть

т.е. , тогда (рис. 2.5), но по определению проекции вектора и произведения вектора на число, получаем:

где – единичный, направляющий вектор оси 0u.

Следовательно,

откуда .

Свойство 2°

Если (рис. 2.6,а), то по формуле (2.1) получаем:

Если , то по формуле (2.1), используя формулу приведения , получаем (рис. 2.6,б):

Координаты вектора. Координатная запись вектора.

Рассмотрим декартову систему координат, т.е. три взаимно перпендикулярных, пересекающихся в точке 0 оси 0х, 0у, 0z. Пусть – единичные направляющие векторы этих осей и – произвольный вектор. Покажем, что векторы образуют базис. Отложим вектор от начала координат, пусть М – конец вектора , т.е. (рис. 2.7). Обозначим – проекции вектора на оси координат, – проекции точки М на оси координат, – проекцию точки М на плоскость . Тогда, по определению произведения вектора на число, получаем (рис. 2.7):

.

По определению сложения и равенства векторов

следовательно:

Проекции вектора на оси координат называются координатами вектора. Таким образом, координатная запись вектора имеет вид:

. (2.4)

Откуда следует, что – базис.

Довольно часто вектор задается перечислением его координат, т.е. запись имеет вид: или (первая запись является более строгой, но чаще используется вторая).

Пусть , проекция точки А на ось 0u имеет координату , а проекция точки В – координату , тогда по определению проекции вектора на ось

Следовательно, если

то

Из доказанных в разд. 2.2 свойств проекций вектора на ось получаем правила сложения и умножения вектора на число в координатной форме:

По теореме Пифагора находим длину вектора (рис. 2.7):

(2.5)

Из определения произведения вектора на число следует, что если ненулевые коллинеарные векторы, то такое, что или

.

Отсюда получаем условие коллинеарности векторов, заданных своими координатам:

. (2.6)

Пусть – углы, которые вектор составляет с осями координат (рис. 2.8), тогда по формуле (2.1)

Возведя в квадрат эти равенства и сложив их, получим:

.

Кроме того, , т.е. ,

где – направляющие косинусы вектора . Координаты единичного вектора равны направляющим косинусам.

Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: или .

Таким образом, по определению

, (2.7)

где угол между векторами. По формуле (2.1)

т.е.

(2.8)

Свойства скалярного произведения векторов (ненулевые векторы)

. прямой угол (),

острый угол,

тупой угол;

2^о.

3^о.

4^o.

Доказательство

Свойства 1^о, 2^о

Справедливость этих свойств вытекает непосредственно из определения.

Свойство 3°

.

Свойство 4°

Если , то по определению

Произведение называется скалярным квадратом вектора

Получим формулу для вычисления скалярного произведения через координаты сомножителей. Пусть , тогда, используя доказанные свойства l° – 4°, получаем:

(свойство 1^о),

( единичные векторы).

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат этих векторов:

(2.9)

Основные приложения скалярного произведения.

1. Вычисление угла между векторами