Комплексификация евклидова пространства.

Пусть дано евклидово пространство V.

Рассмотрим V’={z=x+iy, x,yV}.

Легко доказывается, что это линейного пространство.

Введем в данном пространтсве следующую операцию ’ такую, что φ’=φx+iφy. Также легко устанавливается, что это линейное преобразование.

Скалярное произведение в V’ будем вычислять следующим образом

(x+iy,u+iv)=(x,u)+(y,v)+i(y,u)-i(x,v)

Все аксиомы скалярного произведения выполняются. Проверим например 4 аксиому

(x+iy,x+iy)=(x,x)+(y,y)+i(x,y)-i(x,y)=(x,x)+(y,y)>0

Лемма. (φ’)=(φ)’

Д-во: (φ’z,w)=(φx+iφy,w)=(φx,u)+(φy,v)+i(φy,u)-i(φx,v)

(z,(φ)’w)=(z,(φ)’(u+iv))=(x+iy,φu+iφv)=(x,φu)+(y,φv)+i(y,φu)-i(x,φv)=

=(φx,u)+(φy,v)+i(φy,u)-i(φx,v)

Теорема. Если φ –нормальное (ортогональное, симметричное), то φ’ – нормальное (унитарное, самосопряженное).

Теорема. Преобразование φ нормальное тогда и только тогда, когда существует ортонормированнный базис , в котором матрица преобразование будет блочно-диагональной, причем блоки - 1-ого или 2-ого порядка, где блоки 2-ого порядка имеют следующий вид

Д-во: <= пусть существует ортонормированный базис, в котором матрица преобразования φ имеет блочно-диагональный вид, т.е.

[φ]=diag

[φ]=diag

[φ][φ]=diag

Следовательно φφ=φφ.

• Пусть дано нормальное преобразование φ.

Проведем комплексификацию пространства V. Рассмотрим φ’. Матрица данного преобразовния будет матрица [φ], она нормальная. Поэтому φ’ тоже нормальное.

Рассмотрим характеристическое уравнение det(φ’-λε)=

Не нарушая общности, можно считать, что система собственных чисел имеет вид:

, где λ (i=2s+1,..,n) - вещественные различные собственные числа.

Данной системе будет соответствовать ортнормированный базис V’ , где вектора f (i=2s+1,..,n) – вещественные вектора.

Рассмотрим комплексные вектора f и (i=1,..,s). Пусть f=g+ih собственный вектор, соответствующий собственному числу λ=α+iβ (β≠0). Тогда =g-ih соответствует собственному числу α-iβ

На ветора f и натянуто двумерное подпространство: L(f, )=L(g,h)

Отсюда g=(1/2)(f+), h=(-i/2)(f-). Это будут новые базисные вектора. Нормируем их

(g, g)=(1/4)((f, f)+(,))=1/2, (h,h)=1/2

Пусть e=g=( f+), e=h=( f+)

Система и будет ортонормированным базисом. Вектора будут ортогональны между собой, потому, что (e, e)=0, а остальные равны о из-за ортогональности прежних векторов.

Теперь покажем, что матрица преобразования в данном базисе указанного вида. [φ’]=[φ]

Блоки 1- ого порядка –это λ (i=2s+1,..,n) – собственные числа вещественных собственных векторов.

Блоки 2-ого порядка. Рассмотрим f=g+ih собственные вектор для числа α+iβ (β≠0)

φ’f=φ’(g+ih)=(α+iβ)(g+ih)=αg-βh+i(αh+βg), но φ’f=φg+iφh

Следовательно φg=αg-βh, φh=αh+βg. Для комплексно сопряженного получаем то же самое.

Т.о. φg=αg-βh, φh=βg+αh. Умножим на , получим

φe=αe-βe

φe=βe+αe

Отсюда следует, что блоки 2-ого порядка имеют вида

Следствие 1. Для любого ортогонального преобразования φ евклидова пространства V существует ортонормированный базис , в котором матрица перобразования имеет блочно-диагональный вид, причем блоки 1-ого (±1) или 2-ого порядка

Д-во: φ – ортогональное, значит нормальное. Тогда применим теорему, получим

[φ]=diag

[φ]=diag

[φ][φ]=diag=E

Блоки 1-ого порядка λ²=1 => λ=±1

Блоки 2-ого порядка α²+β²=1. Решения этого уравнения лежат на окружности радиуса 1, поэтому если α=cosα, то β=sinα.

Следствие 2. Если φ – симметричное преобразование, то существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Д-во: φ – симметричное, значит нормальное. Тогда применим теорему, получаем, что сперва идут собственные числа λ.

-β=β=> β=0 => α=λ

Т. е. по диагонали стоят собственные числа, т.е. ортонормированный базис состоит из собственных векторов.

Следствие 2’. Для любой вещественной квадратичной формы существует ортогональное преобразование x=Qy, при котором xAx=yDy=. Это называется приведенение квадратичной формы к главным осям.

Д-во: Матрица квадратичной формы симметричная, поэтому по следствию 2 существует ортонормированная матрица перехода Q (от старого к ортонормированному), приводящая матрицу А к диагональному виду, причем по диагонали будут стоять собственные числа.