Понятие о спектрах

Совокупности коэффициентов a_k,b_k разложения периодической функции f(t) в ряд Фурье называют частотными спектрами этой функции.

Из формул (8) и (9) видно, что a_k= a_k(k) ; b_k= b_k(k), если f(t) имеет период 2π, а если период Т, то a_k= a_k(k∆ω) ; b_k= b_k(k∆ω). Здесь частота первой гармоники ∆ω=2π/T, т.е. спектры являются функциями, зависящими от номера гармоники k, как независящей переменной. Графически частотные спектры изображают в виде отрезков длины a_k,b_k, проведённых перпендикулярно к оси, на которую наносим значения k или k∆ω. Т.к. k=1,2,… частотные спектры имеют дискретный (разрывный) характер, расстояние между отдельными линиями спектра в общем случае равно ∆ω, а при t=2π – единице.

Совокупность комплексных чисел С_k=2с_k, определяемых для f(t) c периодом Т формулой (19) называется комплексным амплитудным частотным спектром.

Совокупность величин A_k= A_k(k∆ω) и φ_k=φ_k(k∆ω) (k=1,2,3…) называются соответственно амплитудным и фазовым частотными спектрами периодической функции f(t).

Ранее отмечалось, что k может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому график спектров А_k и φ_k имеет смысл и при положительных, и при отрицательных частотах ω=k∆ω

А_k=2│с_k│,

φ_k= -arg с_k=arctg (b_k/a_k).

Отсюда получим, что A_+│k│= A _-│k│, φ_+│k│= -φ _-│k│,

т.е. амплитудный частотный спектр является четно-симметричной, а фазовый частотный спектр – нечетно-симметричной функцией частоты ω. Таким образом, при определении спектров часто достаточно изобразить лишь половину спектра при k∆ω > 0.

Пример. Изобразить частотные спектры периодической функции

Заданная функция имеет значения коэф.(см. пред. пр.) a_k=0; b_k=0 при четном k; b_k=4a/(πk) – при нечетном k.

Отметим, что между периодическими функциями и их частотными спектрами существует взаимнооднозначное соответствие: f(t) определяет ее частотные спектры и, наоборот, зная частотные спектры, можно указать какой периодической функции они принадлежат. Благодаря этому соответствию в ряде задач техники оказывается удобным операции над периодическими процессами заменять операциями над частотными спектрами, характеризующими эти процессы.

Интеграл фурье Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье

Для разложения функции f(t) в ряд Фурье на всей оси 0 t необходимо, чтобы эта функция была периодической. При представлении функции заданной в интервале (-π/2; π/2), в виде ряда Фурье в этом интервале, функция периодически продолжается с периодом Т за пределы этого интервала. В этом случае получающаяся периодическая функция представляется в виде бесконечной суммы гармоник. Установим, что будет с разложением, если Т→ ∞.

Пусть дана периодическая функция f(t), допускающая в интервале (-Т/2; Т/2) разложение в ряд Фурье т.е.

∆ω=2π/T

или в другой форме

где - относительная комплексная амплитуда.

При Т→ ∞ частота первой гармоники разложения f(t) в ряд Фурье:

∆ω=2π/Т → 0.

Однако величина ∆ω является приращением частоты при переходе от одной частоты к соседней. При Т→ ∞ приращение частоты становится величиной бесконечно малой, т.е.

∆ω → dω.

Обозначим через ω часиоту k –ой гармоники, т.е. положим

ω=k∆ω.

Под знаком суммы в правой части (2) величина ω принимает дискретные значения. Если

Т→ ∞ то ω становится непрерывной величиной. В этом случае

Ф

V

ункция F(jω) называется преобразованием Фурье функции f(t).Эта функция характеризует спектральный состав функции f(t) и может быть названа также спектральной характеристикой f(t).Используя формулу Эйлера (3) можно представить в виде:

U

или F(jω) = U(ω)-jV(ω),

где функция U(ω) – четная, а V(ω) – нечетная относительно ω.

Функцию F(jω) можно записать в виде:

где - модуль преобразования Фурье, четная функция.

- аргумент, нечетная функция.

Сравним преобразование Фурье F(jω) c относительной комплексной амплитудой k – ой гармоники F(jk∆ω).

В пределе при Т → ∞ (т.е. при ∆ω → 0) правая часть этого равенства совпадает с правой частью равенства (4), т.е. учитывая, что, найдем

где

Функция F(jk∆ω) даёт при фиксированном k значение относительной амплитуды k- й гармоники разложения периодической функции в ряд Фурье. Если k=0,1,2…,то F(jk∆ω) принимает значения F (jo), F(j∆ω), F(j2∆ω).

Функция F(jω) характеризует закон изменения относительных комплексных амплитуд разложения непериодической функции на сумму гармоник, так как частота ω принимает непрерывный ряд значений, то график F(jω) состоит не из отдельных (дискретных) точек, а является непрерывной кривой.

Интеграл Фурье дает разложение, представляющее собой сумму бесконечно большого числа гармоник, амплитуды которых бесконечно малы, а частоты смежных гармоник бесконечно близки.

Комплексная бесконечно малая амплитуда каждой гармоники, как следует из (5) будет

Амплитуды каждой гармоники в разложении с помощью интеграла Фурье бесконечно малы, поэтому изобразить их на графике не представляется возможным.

Поэтому для того, чтобы использовать спектральное представление и для анализа непрерывных процессов по оси ординат откладывают не амплитуду гармоники А, а значение относительной амплитуды.

Для периодической функции f(t) получится график

т.е.

график, характеризующий среднее значение амплитуды, приходящейся на единицу длины интервала частот. В пределе, при Т→ ∞ функция F(j∆ω) превращается в F (jω) непериодической функции f(t), которая с точностью до постоянного множителя π представляет собой отношение бесконечно малого приращения амплитуды, имеющей место при бесконечно малом приращении частоты к указанному приращению частоты

Аргумент спектральной характеристики argF(jω) = φ(ω) характеризует начальную фазу гармоник разложения непериодической функции f(t), а функция является относительной амплитудой этих гармоник.

Пример. Определить частотные свойства одиночного импульса высотой А и длительностью τ.

Периодически продолжаем функцию с периодом Т и находим коэффициенты a_k и b_k, функция четная b_k=0.

Амплитудно-частотный спектр A_k =│a_k│ будет иметь вид:

Графически спектр одиночного импульса изобразить нельзя. Построим график функции │F(jk∆ω) │, т.к.

Первое значение:

При k=0,1,2 … F(jk∆ω) принимает дискретный ряд значений. Через концы отрезков проходит огибающая │F(jω) │, величина площадей заштрихованных прямоугольников с точностью до множителя π равна a_k.

Нетрудно видеть, что в отличие от огибающей для частотного спектра a_k кривая │F(jω) │не зависит от уменьшения (увеличения) частотного интервала ∆ω, происходящего при увеличении (уменьшении) периода Т последовательности импульсов. При Т → ∞ интервал станет бесконечно малым, однако относительные амплитуды остаются неизменными. В данном примере является действительной. В общем случае она может быть и комплексной.