Критерий Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости САР по виду ее АФХ в разомкнутом состоянии.

Передаточная функция замкнутой САР может быть выражена через передаточную функцию разомкнутой системы W(s).

Ф(s)=W(s)/(1+W(s))

Пусть W(s)=M(s)/Q(s), где M(s) и D(s) – многочлены от s, причем степень многочлена M(s) меньше степени многочлена Q(s). Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

где

Многочлен D(s) является характеристическим многочленом замкнутой, а многочлен Q(s) – разомкнутой автоматической системы. Очевидно, что степени этих многочленов равны.

Образуем сумму

W₁(j)=1+W(j)=1+M(j)/Q(j)=D(j)/Q(j)

Из критерия Михайлова следует, что замкнутая система будет устойчивой, если приращение аргумента _d=n/2, где n-степень характеристического многочлена D(s); при этом условии D(s) не имеет корней в правой полуплоскости плоскости S.

В разомкнутом состоянии САР в общем случае может быть неустойчивой, то есть Q(s) может иметь корни в правой полуплоскости (полагаем, что на мнимой оси Q(s) корней не имеет). Если число таких корней равно L, то приращение аргумента (угол поворота вектора Q(j) при изменении

от 0 до )

_q=n/2-L

Следовательно, угол поворота вектора суммы W₁(j) при изменении от 0 до 

=_d - _q= n/2 - n/2-nL= L

Для устойчивой системы вектор W₁(j) при изменении от 0 до  повернется на угол L в положительном направлении (против часовой стрелки) так как функция W(j) отличается от W₁(j) на (-1), то для устойчивой замкнутой системы вектор W(j) при изменении oт 0 до  повернется на угол L относительно точки (-1, j0), иными словами АФХ разомкнутой системы должна охватывать L/2 раз точку (-1, j0).

На основании выше изложенного, критерий Найквиста может быть сформулирован следующим образом:

-1;j0

Автоматическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы W(j) не охватывает точку (-1,j0). Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и ее характеристический многочлен имеет L корней в правой полуплоскости, то для устойчивости автоматической системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ W(j) охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении L/2 раз.

Примеры. Разомкнутая система неустойчива

L=1 =, охватывает ½ раз - система устойчива

П₊+П_-= ½

=- , - система не устойчива

П₊+П_-=½-1½ - не устойчива

L=2

=2 , охватывает 1 раз L/2 – замкнутая система устойчива

П₊-П _-= 1 – устойчива.

Если АФХ имеет сложную форму, то определение результирующего поворота (охвата) сложно. В этом случае удобно использовать правило переходов.

Переход АФХ W(jw) через участок вещественной оси (-,-1) с возрастанием частоты называется положительным если он проходит “сверху”-”вниз” и отрицательным, если “снизу”-”вверх”. Обозначают + и – в кружочках. Если АФХ начинается на вещественной оси в интервале (-;-1), то эта точка считается за + ½ перехода, если вниз, и за - ½ , если вверх.

Если разомкнутая система является неустойчивой, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между общим числом П₊ - положительных и П _-- отрицательных переходов АФХ W(j) через участок вещественной оси (-;-1) при изменении частоты от 0 до  было равно L/2 , где L –число правых корней характеристического уравнения системы.

П₊ -П _- =L/2

Разомкнутая система – устойчива

L=0

=0

П₊-П _-=0

устойчива замкнутая система

=0

П₊-П_-=0 замкнутая система устойчива

не охватывает

=2;0

П₊-П_-= -10 замкнутая система не устойчива

охватывает

Если АФХ проходит через (-1;j0) то замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости.

Некоторые особенности применения критерия Найквиста появляются при исследовании устойчивости систем, нейтральных в разомкнутом состоянии. Это системы имеющие нулевые корни (апериодическая граница устойчивости), а также системы, находящиеся в разомкнутом состоянии, на колебательной границе устойчивости, то есть имеющих чисто мнимые корни.

Например, если Q(s) имеет один нулевой корень, то годограф W(j) при 0 обращается в бесконечность.

В этом случае для сохранения формулировки критерия, справедливой для устойчивых в разомкнутом состоянии систем, включают нулевой корень в левую полуплоскость, огибая его справа окружностью бесконечно малого радиуса 0. При этом годограф W(j) дополняется частью окружности бесконечно большого радиуса, проводимой по часовой стрелке от положительной полуоси, то есть на угол /2 .

При нескольких нулевых корнях, угол дополнения АФХ окружностью бесконечно малого радиуса _доп=/2 где - число нулевых корней (порядок астатизма)

Аналогичные дополнения приходится проводить при наличии чисто мнимых корней в характеристическом уравнении разомкнутой системы, так как в этом случае АФХ имеют разрывы