Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости, накладывающим ограничения на коэффициенты характеристического уравнения. Процессор математики Кембриджского университета Раус в 1875 году сформулировал условия устойчивости в виде таблицы. Швейцарский математик Гурвиц в 1895 году опубликовал критерий устойчивости в виде системы определений. Оба дают одни и те же алгебраические неравенства и отличаются только способами их получения. Рассмотрим этот критерий в форме Гурвица.

Если характеристическое уравнение системы имеет вид уравнения (2), причем a₀>0, то для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы были положительными n определителей Гурвица – ₁,₂..._n.

Определители Гурвица представляют собой диагональные определители квадратной матрицы n-го порядка, составленной из коэффициентов (2), которая строится следующим образом:

По главной диагонали записываются коэффициенты а₁,а₂...а_n .

Вниз по столбцу от этих коэффициентов расположены коэффициенты с убывающими номерами, а вверх – с возрастающими. При этом полагается a_i=0 , если i<0 или i>n. Такая матрица называется матрицей Гурвица Г.

; ; ; .

Легко убедиться в том, что _n=a_n_n-1 . Поэтому последний определитель Гурвица _n вычислять не нужно, а условие >0 выполняется при a_n>0 и

_n-1>0.

Условие, при котором САР находится на границе устойчивости можно получить, положив _n=0 или a_n_n-1=0.

Условие a_n=0, _n-10 – соответствует апериодической границе устойчивости .

Условие a_n0, _n-1=0 – соответствует колебательной границе устойчивости.

Пример. Исследуем устойчивость простейшей следящей системы, в которую входит инерционный усилитель с постоянной времени T_y и исполнительный двигатель с постоянной времени T_м. Все остальные элементы системы считаются безинерционными.

В этом случае передаточная функция разомкнутой системы

W(S)=K/(s(T_мs+1)(T_уs+1)),

где k=k_дат k_y k_д k_p, а передаточная функция замкнутой системы

Характеристическое уравнение системы имеет вид

a₀s³+a₁s²+a₂s+a₃=0;

где a₀=Т_мТ_у; a₁= Т_м+Т_у; a₂=1; a₃=k

Условия устойчивости:

или

Т_м>0; Т_y>0; Т_м+Т_y>kТ_мТ_{y ,} или .

Система будет находиться на колебательной границе устойчивости, если , то есть

к_кр=1/Т_y+1/Т_м.

Полагая Т_м =const построим область устойчивости в пространстве параметров k и T_у,

Видно, что увеличение постоянных времени T_у и T_м сужает область устойчивости, уменьшая верхнее значение коэффициента k.

Критерий устойчивости Михайлова.

Предложен Михайловым (сов. ученый) в 1936 году. Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду кривой Михайлова, представляющей собой годограф вектора

при изменении от 0 до  .

Годограф представляет собой характеристический полином замкнутой системы D(s) при s=j.

Выделив в правой части (1) вещественную и мнимую составляющие можно записать D(j)=U()+jV() где

(2)

Кривая Михайлова строится в плоскости (U;jV) по точкам в соответствии с (2) . Критерий Михайлова формулируется таким образом:

Для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы вектор D(j) при изменении от 0 до  повернулся на угол _d=n/2 против часовой стрелки (в положительном направлении), где n-степень характеристического уравнения исследуемой системы.

D(s)=a₀(s-s₁)(s-s₂)..(s-s_n)

Где s₁ s₂ ... s_n – корни характеристического уравнения

Кривая Михайлова может быть описана уравнением

D()=a₀(j-s₁)(j-s₂)..(j-s_n).

Результирующий угол поворота вектора D(j) при изменении от 0 до  обозначим через ,

Где (i=1..n) – составляющие угла поворота вектора D(j), определяемые сомножителями (j-s_i). Нетрудно видеть, что каждый сомножитель дает поворот радиуса вектора при изменении от 0 до  на угол /2 в случае вещественных корней и на угол (/2) для комплексного корня, где

=arctg(  ) (s_i= j). Паре комплексных корней соответствуют два сомножителя, поворачивающие радиус вектор на угол . Положительные повороты (против часовой стрелки) имеют место при отрицательной вещественной части корня.

Действительно, каждому множителю (j-s_i) можно поставить в соответствие вектор на плоскости корней, начало которого находится на точке s_i , а конец расположен на мнимой оси в точке j.

При изменении j от 0 до  получаем указанные приращения аргумента.

Таким образом, если характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь l₃ корней с положительными вещественными частями, то каковы бы ни были эти корни (вещественные или мнимые), им будет соответствовать сумма углов поворота, равная

-l₃ /2

Остальным (n-l₃) корням, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворота, равная

(n- l₃) /2. Следовательно, результирующий угол поворота вектора D(j) при изменении от 0 до  _d=(n- l₃) /2 - l₃/2 = /2n-l₃

Для устойчивой САР кривая Михайлова должна проходить последовательно n квадрантов. Кривая начинается на вещественной полуоси (при =0; D(j0)=a_n) при  D(j). Если система находится на апериодической границе устойчивости, то a_n=0 и кривая идет из начала координат. При колебательной границе устойчивости кривая проходит через начало координат. Кривая соответствующая неустойчивой системе показана на последнем рисунке.