Типовые динамические звенья и их характеристики

Типовыми динамическими звеньями называются звенья, описываемые дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Такие звенья классифицируются в зависимости от вида левой и правой частей их дифференциальных уравнений. Их можно разделить на три группы:

• позиционные;

• интегрирующие;

• дифференцирующие.

Каждая из этих групп, в свою очередь содержит несколько типовых звеньев.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике типовые динамические звенья и определим для каждого из них основные характеристики:

• дифференциальное уравнение;

• передаточную функцию;

• переходную функцию:

• импульсную переходную функцию (функцию веса);

• амплитудно-фазовую частотную характеристику;

• амплитудную частотную характеристику;

• фазовую частотную характеристику;

• логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ, ЛФЧХ).

1. Позиционные звенья – такие звенья, для которых в установившемся режиме характерна линейная зависимость между входной и выходной величинами.

Эти звенья описываются линейным диф. уравнением вида:

D(p)x(t)=b₀g(t) (1)

где D(p) – многочлен не выше второго порядка.

При постоянном входном сигнале выходная величина устойчивых позиционных звеньев с течением времени стремится к постоянному значению.

а) Безинерционное (идеальное) усилительное звено.

Звено, как в установившемся, так и в переходном режиме описывается уравнением вида:

или ,

где k – коэффициент передачи (усиления).

Передаточная функция звена .

Переходная функция ;

Весовая функция

Частотные характеристики:

АФХ

АЧХ

ФЧХ

ЛАЧХ и ЛФЧХ

б) Апериодическое звено

Любое устройство, описываемое дифференциальным уравнением вида

(a₀p+ a₁)x(t)=b₀g(t)

Деля на a₁, получим

(Tp+1)x(t)=kg(t),

где - постоянная времени звена,

- коэффициент передачи звена.

Передаточная функция звена

.

Определим переходную характеристику с помощью преобразования Лапласа. Т.к.

,

,

или

.

Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго. Практически для этого звена под временем переходного процесса понимается наименьший промежуток времени, по истечении которого выполняется неравенство:

,

где - наперед заданное положительное число

[обычно (0,01 – 0,05)k.], или t_п=(3 – 5)T.

Учитывая, что

, найдем, что

- функция веса.

АФХ .

Построим АФХ в координатах Re и Im функции . Для этого представим в виде:

.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженный множитель

.

Обозначим

; .

Исключим из них :

, подставив в , получим:

, или возводя в квадрат

.

Добавляя и вычитая из правой части , получим

, или

- окружность с центром, смещенным на по действительной оси и радиусом .

АЧХ

ФЧХ

Логарифмическая частотная характеристика ЛАЧХ апериодического звена

.

При ,

При , .

Характеристики и называют низкочастотной и высокочастотной асимптотами.

Заметим, что при

.

Частота, на которой сопрягаются эти характеристики, называется сопрягающей частотой.

Ломаная линия с уравнением

при и

при называется асимптотической ЛАЧХ апериодического звена.

Если построить реальную ЛАЧХ по точкам, можно убедится, что максимальное отличие от асимптотической имеет место на сопрягающей частоте. Оно не велико (меньше 3 дб). Практически можно считать, что реальная и асимптотическая ЛАЧХ совпадают и ограничиваться построением асимптотических характеристик.

Фазовая логарифмическая характеристика ЛФЧХ

строится по точкам.

в) Колебательное звено

Звено любой физической природы (маятник, колебательный контур и т.д.), описываемое диф. уравнением вида:

(a₀p²+ a₁p+a₂)x(t)=b₀g(t)

при определенных соотношениях параметров a₁ называется колебательным звеном. Разделив на a_2, получим:

(Т²p²+2Тp+1)x(t)=kg(t),

где постоянная времени,

;

;

.

Передаточная функция колебательного звена

.

Характеристическое уравнение

=0

имеет комплексные корни:

,

где .

Выражение для переходной функции найдем используя обратное преобразование Лапласа:

.

Разложив на простые дроби, в соответствии с таблицей оригиналов и изображений, получим

,

где ;

.

Продифференцировав полученное выражение, определим функцию веса:

.

Переходной процесс рассматриваемого звена носит характер затухающих по экспоненте колебаний.

Практически важно определить время затухания переходного процесса t_п – начальный промежуток времени, по истечении которого выполняется неравенство

,

где - наперед заданное положительное число. Более грубо можно считать, что процесс закончится тогда, когда затухли «сжимающие» его экспоненты.

Иногда полезно знать максимальное отклонение или величину перерегулирования. Их можно вычислить по формуле

:

.

Как видно величина перерегулирования зависит только от относительного коэффициента затухания (коэффициента демпфирования) .

Амплитудно - фазовая характеристика, соответствующая передаточной функции будет

.

Имея такую характеристику, легко определить значения амплитуды и начальной фазы вынужденных колебаний х(t) на выходе системы при наличии на ее входе гармонического управляющего воздействия .

Амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

,

а фазовая частотная характеристика

.

Найдем , для чего определим минимум подкоренного выражения в знаменателе и, приравняв его к нулю, получим

.

Следовательно, экстремум будет существовать на частоте

- резонансная частота.

При частота совпадает с собственной частотой колебаний системы.

.

Подставив выражение для АЧХ, найдем ее максимальное значение

.

Чем меньше значение , тем больше _max. При, .

Выражение для логарифмической АЧХ имеет вид:

.

Асимптотическая ЛАЧХ будет состоять из двух участков:

при ;

при ;

При получаем консервативное звено с передаточной функцией

.

Все его характеристики могут быть получены из характеристик колебательного звена при .