§ 9. Сравнение функций. Асимптотические равенства
Пусть
и
– бесконечно
малые функции в точке
.
Определение 1.
Если
=
0,
то функцию
называют бесконечно малой более высокого
порядка малости по сравнению с
и пишут
=
o(
)
при
.
Пример 1.
Сравнить бесконечно малые
=
и
=
sin
в точке
=
0.
Решение.
Найдём
=
= 0
1 = 0. Поэтому
= o(sin
)
при
0.
Определение 2.
Если
=
c
0, то
и
называют
бесконечно малыми одного порядка малости
и пишут
=
O(
)
при
.
В частности, если
=
c
0, то говорят,
что
имеет k-й
порядок малости по сравнению с
при
.
Действительное число k
называют
порядком малости, а сравнивают чаще
всего с функцией
=
–
.
Например, бесконечно малая в нуле функция
=
имеет
четвертый порядок малости по сравнению
с
=
.
Действительно,
=
=
3.
Определение 3.
Если
=
1,
и
называются эквивалентными,
или асимптотически
равными
бесконечно
малыми в точке
.
Пишут
~
при
0. Например,
= 1
sin
~
при
0.
Пример 2.
Доказать, что arcsin
~
при
0.
Решение.
=
=
= 1. Что и
требовалось доказать.
Пример 3.
Доказать, что ln
(1 +
)
~
при
0.
Решение.
=
=
=
=
=
=
=
1
ln (1 +
)
~
.
Заметим, что мы доказали третье равенство §6, приведённое в том параграфе без доказательства.
Можно доказать
следующие свойства эквивалентных
бесконечно малых в некоторой точке
:
-
если
~
,
то
~
; -
если
~
,
а
~
,
то
~
; -
если
~
,
то
=
+ o(
); -
если
=
+ o(
),
то
~
.
Определение 4.
Если
=
+ o
,
A
0,
> 0,
то выражение
называется главной
степенной частью
бесконечно малой функции
в точке
=
.
Пример 4.
Выделить главную степенную часть
бесконечно малых функций
=
,
=
в точке
= 0.
Решение. Очевидно,
~
~
,
~
~
,
поэтому
=
+
o
(
),
=
+ o
(
).
Главные степенные части:
и
.
Теорема.
Если
~
,
~
при
и
существует, то
=
.
Доказательство.
=
=
=
=
.
Теорема
доказана.
Теоремой часто пользуются при нахождении пределов функции.
Пример 5.
Найти
.
Решение. Воспользуемся теоремой и результатом примера 4.
=
= 2.
Замечание. Аналогично сравниваются и бесконечно большие функции в некоторой точке.