§ 3. Предел функции

Пусть функция определена в окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки . Точка может быть и бесконечно удалённой.

Определение 1 (Гейне). Число называется пределом функции в точке = , если для любой сходящейся к последовательности аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Пишут = , или  при .

Если предел функции существует, то он единственный. Это следует из единственности предела последовательности.

Пример 1. Найти .

Решение. Пусть предел существует. Выберем две последовательности аргумента, сходящиеся к нулю:

= и = . Соответствующие последовательности значений функции следующие:

= =

= = 0, = = = 1,

т.е. обе последовательности являются постоянными. Поскольку пределом постоянной является сама постоянная (см. §2), то в точке = 0 мы получим два предела функции 0 и 1, чего не может быть. Следовательно наше предположение о существовании предела в точке = 0 не верно. Данная функция не имеет предела в нуле.

Определение 2 (Коши). Число называется пределом функции в точке = , если для любого > 0 существует число > 0 такое, что для всех  O(,) имеет место неравенство < . ( > 0  O (,)  O(,)   O (,)).

Пример 2. Доказать, что = 1.

Решение. По определению Коши < , если = < . Если найдем для любого > 0 такое, что из второго неравенства будет следовать первое, то задача будет решена.

= 1 – =  2  <  < .

Положим = , тогда для всех < выполняется неравенство < и задача решена.

Упражнение. Доказать, что = 0.

Замечание. Выше приведено два определения предела функции, однако определение должно быть единственным. Поэтому, если за определение взять формулировку Гейне, то формулировка Коши будет теоремой, и её можно доказать. И наоборот.

Определение 3. Функция называется бесконечно большой в точке = , если существует такая -окрестность этой точки, что для   O (,) > M , где М > 0 – любое действительное число. Точка может быть и бесконечно удалённой. ( M > 0  > 0 (  O (,)  > M).

Если  , оставаясь меньше , то предел функции в точке называется левым. Пишут = . Если  , оставаясь больше , то предел называют правым. Пишут = . Правый и левый пределы называют односторонними пределами. Если  , то функция в точке = предела не имеет, а имеет только односторонние пределы. Если = , то функция имеет в точке предел. И наоборот, если функция имеет предел в точке = , то она имеет равные между собой левый и правый пределы.

§ 4. Бесконечно малые и их свойства

Определение. Функция называется бесконечно малой в точке = , если её предел в этой точке равен нулю, = 0. С помощью , это можно записать так:  > 0  > 0 (  O (,)  || < ).

Теорема 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Докажем теорему для двух слагаемых и . По условию теоремы

< , если < ,

< , если < .

Пусть = min (,), тогда < и < , если < . Т.к. неравенствa одинакового смысла можно cкладывать, то имеем + <  < , если < . Последняя запись означает, что = 0. Теорема доказана.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой в точке = функции на ограниченную в этой точке функцию есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Запись  > 0, M > 0 (  O (,)  < M) означает, что функция ограниченна в точке =. Запись  > 0  > 0 (O(,) ||<) означает, что – бесконечно малая в точке = . В наименьшей из двух окрестностей точки = будут выполняться оба неравенства < M и || < . Перемножая неравенства, получим ||< O(,), = min(,). Последняя запись означает , что произведение  есть бесконечно малая в точке = . Теорема доказана.

Теорема 3. Если — бесконечно малая в точке = и не обращается в нуль в некоторой окрестности этой точки, то = – бесконечно большая функция в этой точке. (Без доказательства).