§ 2. Предел последовательности

Рассмотрим последовательность , , , ... . Её можно рассматривать как переменную величину = ,

n = 1,2,3, ... , функцию натурального аргумента = . Значение данной переменной величины отличается от единицы на 0,1 при n = 9, на 0,01 при n = 99, на 0,001 при

n = 999 и т.д. Очевидно, что эта переменная величина может как угодно близко приблизиться к единице. Говорят, что единица является её пределом.

Определение 1. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого числа > 0 существует такой номер , что все значения при n > удовлетворяют неравенству < .

Пишут = .

Геометрически это означает, что для любой O (,) найдётся такой номер , что все при n > будут принадлежать этой –окрестности. ( > 0  (n >   O (,))).

Если = C = const, то = C, т.к. = 0 < для любых n.

Чтобы найти предел последовательности, используя только его определение, следует поступить так:

1. предположить, что предел равен ;

2. решить неравенство < относительно n для любого > 0;

3. если решение неравенства имеет вид n > , то предположение, что предел равен , верно и предел найден.

Пример1. Найти предел последовательности = .

Решение. 1) Предположим, что = 1.

2. Решим неравенство < ,

< , < ,

n + 1 > , n > – 1 = .

2. Итак, для всех n > неравенство

< выполняется, поэтому =1 согласно определению предела.

Замечание. Число – 1 не для всех является натуральным, поэтому за следует взять целую часть этого числа, т.е. = Е ( – 1).

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство (от противного). Пусть предел не единственный. Выберем два предела = и = =,

< . Выберем O (,) и O (,) так, чтобы они не имели общих точек. Для этого достаточно взять < . По определению предела   n > ( O (,)) и   n > ( O(,)). Пусть = max (,), тогда  n > (O (,) ^  O(,)), что не возможно, т.к. окрестности не пересекаются. ( ^ - символ конъюнкции). Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение 2. Последовательность называется бесконечно большой (пишут = ), если для любого значения М > 0 найдётся такой номер , что все значения при n > удовлетворяют неравенству > M.

Например, последовательности = n, = – n, =

= являются бесконечно большими.

Замечание. Следует различать неограниченную и бесконечно большую последовательности. Например, последовательность 1, 0,3,0,5,0, ... является неограниченной сверху, но она не является бесконечно большой.

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся. В противном случае – расходящейся. Последовательность называется неубывающей, если  для любого n. Если  , – то это невозрастающая последовательность. Невозрастающая и неубывающая последовательности называются монотонными. Если неравенства строгие ( < , > ) , то последовательности называются строго монотонными.

Теорема 2. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Доказательство. Пусть последовательность неубывающая, т.е.  . Согласно теореме 3 §1 последовательность имеет точную верхнюю грань sup = M. По определению точной верхней грани  M для любого n и M – < , где – некоторый член последовательности. Поскольку последовательность неубывающая, то последнее неравенство будет выполняться для всех n  n₀, т.е. <  n > n₀. А это означает, что M = . Доказательство аналогично для невозрастающей последовательности. Теорема доказана.