§6. Интеграл от функции комплексного переменного

Пусть некоторая плоская кривая задана параметрически Умножая на и складывая с получим уравнение этой кривой в комплексном виде Пусть некоторая дуга лежит на этой кривой, причем точке А на этой дуге отвечает значение параметра а точке В -

Под интегралом от функции по дуге будем понимать число, определяемое следующим выражением

(1)

Из (1) видно, что интеграл от функции комплексного переменного определяется двумя криволинейными интегралами второго рода. Поэтому, если криволинейные интегралы второго рода существуют, то существует и интеграл от функции комплексного переменного. Все свойства криволинейного интеграла второго рода справедливы и для интеграла (1). В частности он зависит от направления движения по дуге.

Если дуга гладкая, то интеграл (1) легко сводится к определенному

(2)

Пример 1. Найти интеграл от функции

а) по отрезку прямой, соединяющей начало координат с точкой (1;1);

б) по отрезку параболы проходящей через эти точки.

Решение. Запишем уравнение прямой и параболы в комплексной форме:

Используя (2), получим:

Пример 2. Вычислить где С- окружность радиуса R c центром в которая обходится в положительном направлении один раз, n- целое число.

Решение. Запишем уравнение окружности в комплексном виде

Согласно (2), имеем

Заметим, что интеграл не зависит ни от радиуса R окружности, ни от точки

Теорема 1 (Коши). Пусть в односвязной области Е задана аналитическая функция f(z). Тогда интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру С, целиком лежащему в области Е, равен нулю, т. е.

(3)

Доказательство. Воспользуемся формулой Грина

(4)

(см. §8 гл.9, ч.1). Из (3) и (4) следует

так как согласно условиям Эйлера-Даламбера подынтегральные выражения двойных интегралов обращаются в нуль. Здесь область, ограниченная контуром С. Теорема доказана.

Замечание. Теорема Коши справедлива и в том случае, когда контур С совпадает с границей области Е, если дополнительно потребовать непрерывности функции f(z) в замкнутой области

Пусть замкнутый контур С лежит в односвязной области E, в которой функция f(z) аналитическая. Пусть некоторая фиксированная точка, а z- текущая точка на контуре С (см. рис. 8).

Тогда, согласно свойствам интеграла и теореме 1,

или (5)

Здесь означает дугу дугу а дугу Равенство (5) означает, что значение интеграла не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечной точек интегрирования:

(6)

Можно убедиться, что функция является первообразной функцией для функции а интеграл (6) удовлетворяет всем свойствам интеграла с переменным верхним пределом от действительной функции.

Пример 3. Найти интеграл

Решение. Функция аналитическая в комплексной плоскости (z), исключая z=0. Плоскость с разрезом по отрицательной полуоси будет односвязной областью, в которой функция аналитическая. Тогда, согласно (6), получим где lnz – одна из ветвей многозначной функции Lnz.

Теорема 2. Пусть функция аналитическая в многосвязной области Е, ограниченной контурами и пусть f(z) непрерывная в Тогда

(7)

где внешняя граница области E, внутренние контуры, ограничивающие область Е. Все контуры обходятся против стрелки часов.

Доказательство. Соединим внешний контур с внутренними контурами кривыми Тогда многосвязная область Е станет односвязной (см. рис. 9). Согласно теореме1 и замечанию к ней, имеем

(8)

Вся граница односвязной области проходится в положительном направлении, т.е. так, что область остается слева (внешний контур против часовой стрелки, по часовой стрелке). Кривые проходятся дважды в разных направлениях, поэтому сумма интегралов по этим кривым равна нулю. Меняя направление обхода внутренних контуров, получим (7). Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть функция аналитическая в односвязной области Е и непрерывна в Тогда (9)

где (без доказательства).

Формулу (9) называют интегральной формулой Коши.

Следствие. В условиях теоремы 3 справедлива формула

(10)

Из (10) следует, что аналитическая функция дифференцируема сколько угодно раз. Заметим, что (10) можно получить формальным дифференцированием (9) по параметру

Пример 4. Вычислить если

Решение.

а) функция аналитическая внутри круга

Поэтому, согласно теореме Коши,

б) функция аналитическая внутри круга точка внутри этого круга, поэтому, согласно формуле (9),

Итак,

Упражнение. Вычислить