§4. Геометрический смысл производной

Пусть функция отображает некоторую окрестность точки в окрестность точки и всякую дугу в дугу Г.

Пусть (1)

Из (1) следуют равенства (см. (6) §1)

(2)

(3)

Запишем равенство (2) в виде

(2')

и дадим его геометрическую интерпритацию. это угол наклона секущей, проходящей через точки и , а угол наклона секущей, проходящей через точки и Т.к. предельное положение секущей есть касательная, то можно переписать так:

(4)

где и углы наклона соответствующих касательных (см. рис. 6). Из (4) ясен геометрический смысл аргумента производной. Это угол поворота касательной при отображении Поскольку производная не зависит от того, по какой кривой z стремится к , то ясно, что все бесконечно малые дуги, выходящие из точки , при отображении функций поворачиваются на один и тот же угол если

Следствие. Угол между кривыми, проходящими через точку , при отображении аналитической функцией не изменяется, если Это свойство данного отображения называют свойством сохранения углов.

Рассмотрим геометрический смысл равенства (3). Модули разности и есть расстояния между точками и , и соответственно. Поэтому коэффициент растяжения (сжатия) бесконечно малой дуги в точке при отображении функцией Коэффициент растяжения не зависит от направления дуги, поэтому это свойство данного отображения называют свойством постоянства растяжения.

Отображение, осуществляемое аналитической функцией, называют конформным в точке, в которой производная отлична от нуля. Если в каждой точке области то аналитическая функция осуществляет конформное отображение области на область

Пример. Рассмотрим отображение Производная обращается в нуль только в точках следовательно, отображение конформно всюду, исключая точки это означает, что бесконечно малые дуги, проходящие через точку при отображении функцией поворачиваются на угол и растягиваются в шесть раз.

Если взять в плоскости z бесконечно малый треугольник, одна из вершин которого совпадает с точкой z₀, то при отображении аналитической функцией в плоскости w ему будет соответствовать криволинейный треугольник с вершиной в точке Соответственные углы этих треугольников будут равны в силу свойства сохранения углов, а отношения соответственных сторон с точностью до бесконечно малых будут равны коэффициенту растяжения в точке z₀. Такие треугольники называют подобными. Отсюда и название конформное отображение, т. е. cохраняющее форму.

§5. Примеры конформных отображений

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки z₀.

Определение 1. Отображение называется конформным в точке z₀, если оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений в точке z₀.

Пусть функция f(z) однолистная в конечной области E.

Определение 2. Отображение называется конформным в области E, если оно конформно в каждой точке этой области.

Очевидно, линейная функция (b и a  0 – комплексные числа) осуществляет конформное отображение всей комплексной плоскости z на комплексную плоскость w. Ради наглядности совместим эти плоскости так, чтобы начала и оси координат совпадали. Тогда в частности w = z + z₀ осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор z₀, ( - действительное) – поворот плоскости вокруг начала координат на угол , а w = kz (k > 0) – преобразование подобия, k – коэффициент подобия. Записав линейную функцию в виде видим, что ее можно представить как произведение операций сдвига, подобия и вращения. Т. к. при этих операциях свойства сохранения углов и постоянства растяжений очевидны, то это отображение конформно.

Углом между прямыми, проходящими через бесконечно удаленную точку, называют угол между образами этих кривых при отображении в точке w = 0.

Например, оси декартовой системы координат пересекаются в нуле под углом Поскольку на расширенной комплексной плоскости бесконечно удаленная точка одна, то оси пересекаются и в бесконечно удаленной точке При отображении оси координат отображаются сами в себя (плоскости z и w совмещены) и, следовательно, в бесконечно удаленной точке они пересекаются также под углом

Определение 2 распространяют на любую область расширенной комплексной плоскости. Если доопределить линейную функцию, полагая при то можно убедиться, что она конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w.

Отметим свойства функции f(z), которыми она должна обладать, чтобы отображение, осуществляемое ею, было конформным.

Теорема 1. Если функция f(z) однолистная в области Е расширенной комплексной плоскости и аналитическая всюду за исключением быть может одной точки в которой но то отображение w = f(z) области Е на область G значений функции конформно (без доказательства).

Рассмотрим дробно-линейную функцию При с = 0 она переходит в линейную, рассмотренную выше, поэтому положим с  0. Дробно-линейная функция однолистная на всей комплексной плоскости, т. к. обратная функция однозначная. Она аналитическая всюду, исключая точку В ней она обращается в бесконечность,

но

Функция удовлетворяет теореме 1 на всей комплексной плоскости, следовательно, конформна на всей комплексной плоскости. Доопределим функцию, полагая при и при Можно убедиться, что в этом случае дробно линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w.

Справедливо и обратное утверждение, если функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w, то эта функция дробно-линейная.

Прямую на расширенной комплексной плоскости будем считать окружностью бесконечного радиуса. Можно доказать, что любую окружность на расширенной комплексной плоскости дробно-линейная функция отображает на окружность, а полуплоскость – в круг. При этом всякое дробно-линейное отображение полуплоскости z > 0 на круг имеет вид

(1)

где Im z₀>0,  - действительное.

Рассмотрим функцию

(2)

которую называют функцией Жуковского.

Функция (2) определена и однозначна на всей комплексной плоскости (исключая точку z = 0), но не однолистна на ней, т. к. обратная функция неоднозначная. Точки являются точками ветвления.

Найдем область однолистности. Для этого положим, что две различные точки z₁ и z₂ отображаются в одну и ту же точку w. Тогда получим

Таким образом, всякая область, не содержащая ни одной пары точек, удовлетворяющей условию будет областью однолистности функции Жуковского. Этому условию удовлетворяет, например, круг z< 1 или внешность этого круга z> 1. В этих областях функция (2) удовлетворяет теореме 1 и, следовательно, отображает эти области конформно.

Найдем область, на которую конформно отображает функция Жуковского круг z< 1. Положим Подставляя в (2) и отделяя действительную u и мнимую v части, получим

(3)

Уравнения (3) есть уравнения эллипса с полуосями

(4)

Таким образом, всякая окружность отображается в эллипсе. Из (4) следует, что при r1 a1, b0, т. е. граница круга z< 1 отображается в дважды пробегаемый отрезок u 1 действительной оси плоскости w. При r0 и , следовательно, круг z< 1 отображается на расширенную комплексную плоскость w с разрезом от точки z = -1 до точки z = 1 (см. рис 6).

Аналогично можно убедиться, что и внешность круга z> 1 отображается функцией Жуковского на расширенную комплексную плоскость с тем же разрезом. Таким образом, функция Жуковского отображает расширенную комплексную плоскость на поверхность Римана, состоящую из двух плоскостей склеенных по разрезу действительной оси от точки z = -1 до точки z = 1.

Основная задача теории конформных отображений заключается в нахождении функции, отображающей одну заданную область на другую заданную область. Достаточно простого алгоритма решения этой задачи не существует, поэтому на практике следует руководствоваться общими условиями существования конформного отображения и общими принципами. Перечислим важнейшие из них. Во-первых, нельзя конформно отобразить многосвязную область на односвязную, а во-вторых, нельзя всю комплексную плоскость конформно отобразить на конечную область. Однако, две произвольные односвязные области, границы которых состоят более, чем из одной точки, всегда можно конформно отобразить друг на друга.

Теорема 2 (принцип соответствия границ). Если функция w = f(z) конформно отображает одну область на другую, то она взаимно однозначно отображает и границы этих областей (без доказательства).

Справедлива и обратная теорема. Если функция w = f(z), аналитическая в области Е и непрерывная на ее границе, однозначно отображает эту границу на некоторую кривую Г, то функция f(z) конформно отображает область Е на область G, границей которой является кривая Г.

Пример. Найти такое конформное отображение верхней полуплоскости с разрезом по мнимой оси от точки z = 0 до точки z = i (см. рис. 7 а) на единичный круг, чтобы точка отобразилась в центр этого круга.

Решение. Разгладим сначала разрез. Т.к. на разрезе точки имеют аргумент /2, то воспользуемся функцией w₁ = z², поскольку она удваивает аргумент точки. Эта функция аналитическая и однолистная в верхней полуплоскости и поэтому конформно отображает заданную область на плоскость w, с разрезом -1, (см. рис. б).

Согласно принципу соответствия границ ломаная ABCDA отобразится в разрез ABCDA плоскости w₁. Обозначения соответственных точек при отображении на рисунках сохранены. Буквой A обозначена бесконечно удаленная точка плоскости z (а также плоскостей w₁, w₂ и w₃).

Осуществим теперь сдвиг комплексной плоскости w₁ так, чтобы точка С попала в начало координат. Для этого воспользуемся линейным отображением w₂ = w₁ + 1 (см. рис. в).

Затем комплексную плоскость w₂ с разрезом 0, отобразим на верхнюю полуплоскость. Для этого воспользуемся однозначной ветвью функции Она конформно отображает плоскость w₂ с разрезом 0, на верхнюю полуплоскость w₃ (см. рис. 2).

Наконец, полуплоскость w₃ конформно отобразим на единичный круг w₄< 1 с помощью дробно-линейной функции (см. рис. д).

Поскольку центр круга должен быть в точке E, которая на плоскости w₃ имеет координаты (0,1), то дробно-линейная функция следующая (см. (1)):

Итак, функция, осуществляющая конформное отображение заданной области на заданный единичный круг, имеет вид