![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 5. Определенный интеграл
- •5.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •5.2. Интегральные суммы, их свойства
- •Определение определенного интеграла
- •5.3. Взаимосвязь определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона - Лейбница
- •5.4. Свойства определенного интеграла
- •5.5. Методы интегрирования определенных интегралов
- •5.6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •5.7. Теоремы о сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования
- •5.8. Несобственные интегралы от разрывных функций, неограниченных в точках разрыва
- •5.9. Теоремы о сходимости несобственных интегралов от разрывных функций
- •5.10. Геометрические приложения определенных интегралов
- •5.10.1. Вычисление площадей фигур
- •5.10.2. Вычисление объемов тел вращения
- •5.10.3. Длина дуги кривой
- •5.11. Численные методы нахождения определенных интегралов
- •5.11.1. Формулы прямоугольников
- •5.11.2. Формула трапеций
- •5.11.3. Формула Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов
- •5.12. Производная интеграла, зависящего от параметра
- •Глава 6. Двойные интегралы
- •6.1. Определение двойного интеграла
- •6.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •6.3. Свойства двойных интегралов
- •6.4. Вычисление двойных интегралов
- •6.5. Двойные несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
5.10.2. Вычисление объемов тел вращения
Рис. 67 |
Пусть требуется
вычислить объем тела, образованного
вращением вокруг оси Ох
фигуры,
ограниченной линиями:
Составим интегральную сумму и перейдем к пределу. |
С помощью произвольно
выбранных точек
разобьем отрезок
на n
элементарных
отрезков длиной
i
= 1, 2, …, n.
Через точки деления проведем плоскости
перпендикулярно оси Ох.
Получим n
элементарных объемов тел вращения. На
каждом элементарном отрезке выберем
произвольно точку
и вычислим значение функции
.
Каждое элементарное тело вращения
заменим цилиндром с радиусом основания
и высотой
,
объем которого равен
.
Объем всего тела вращения приближенно
равен
.
Данная сумма
является интегральной. Перейдем к
пределу при
,
и получим точное значение объема
или
.
Если тело образуется
вращением вокруг оси Оy
фигуры, ограниченной линиями:
,
,
то его объем находится по формуле
.
Пример 5.15.
Рис. 68 |
Найти объем тела
(рис. 68), образованного вращением вокруг
оси Ох
эллипса
Найдем
|
Учитывая симметричность фигуры, находим объем
.
Пример
5.16.
Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оy
фигуры, ограниченной линиями
.
Рис. 69 |
Находим
|
5.10.3. Длина дуги кривой
Требуется найти
длину отрезка кривой
при
.
Составим интегральную сумму и перейдем
к пределу. Разобьем отрезок
с помощью произвольно выбранных точек
на n
элементарных отрезков длиной
.
Рис. 70 |
На каждом элементарном отрезке заменим дугу кривой отрезком прямой (рис. 70), длина которого равна
Используем
теорему Лагранжа о конечном приращении
функции на каждом элементарном отрезке.
Найдем
|
Получим
.
Составим интегральную сумму для нахождения приближенного значения длины дуги отрезка кривой
.
Перейдем к пределу, получим точное значение длины дуги кривой
или
.
Пример
5.17.
Найти длину полукубической параболы
,
отсекаемой прямой
(рис. 71).
Рис. 71 |
Найдем
Учтем симметрию кривой, получим
|
5.11. Численные методы нахождения определенных интегралов
Данные методы основываются на геометрическом смысле интеграла как площади криволинейной трапеции.
Обычно интервал
интегрирования
разбивают на
n
равных элементарных отрезков. На каждом
элементарном отрезке подынтегральную
функцию заменяют или прямой, или кривой
задаваемого вида. Интеграл находится
приближенно как сумма площадей
элементарных криволинейных трапеций.
В зависимости от вида функции, которой
заменяют подынтегральную функцию на
элементарных отрезках получают различные
формулы для численных методов нахождения
определенных интегралов.
Пусть требуется
вычислить значение интеграла
.
С помощью точек
где
,
разобьем отрезок
на n
равных элементарных отрезков длиной
h.
Вычислим значения подынтегральной
функции в точках деления
.