![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 5. Определенный интеграл
- •5.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •5.2. Интегральные суммы, их свойства
- •Определение определенного интеграла
- •5.3. Взаимосвязь определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона - Лейбница
- •5.4. Свойства определенного интеграла
- •5.5. Методы интегрирования определенных интегралов
- •5.6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •5.7. Теоремы о сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования
- •5.8. Несобственные интегралы от разрывных функций, неограниченных в точках разрыва
- •5.9. Теоремы о сходимости несобственных интегралов от разрывных функций
- •5.10. Геометрические приложения определенных интегралов
- •5.10.1. Вычисление площадей фигур
- •5.10.2. Вычисление объемов тел вращения
- •5.10.3. Длина дуги кривой
- •5.11. Численные методы нахождения определенных интегралов
- •5.11.1. Формулы прямоугольников
- •5.11.2. Формула трапеций
- •5.11.3. Формула Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов
- •5.12. Производная интеграла, зависящего от параметра
- •Глава 6. Двойные интегралы
- •6.1. Определение двойного интеграла
- •6.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •6.3. Свойства двойных интегралов
- •6.4. Вычисление двойных интегралов
- •6.5. Двойные несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
5.8. Несобственные интегралы от разрывных функций, неограниченных в точках разрыва
Если функция
непрерывная на промежутке
имеет точку разрыва при
,
то интегралом от этой функции на отрезке
называется предел вида
.
Если подынтегральная
функция имеет точку разрыва в левой
граничной точке
отрезка
,
то
.
Если точка разрыва
подынтегральной функции
является внутренней точкой отрезка
,
то
,
.
Несобственный интеграл от разрывной функции называется сходящимся, если существуют конечные пределы в определении этого интеграла. В противном случае интеграл называется расходящимся.
Рис. 62 |
Геометрически
несобственный интеграл от разрывной
функции
|
Пример 5. 11.
Исследовать
на сходимость интеграл
.
Подынтегральная
функция имеет точку разрыва при
,
поэтому
.
Интеграл сходится, равен 2.
Если первообразная функция для подынтегральной разрывной функции непрерывна на отрезке интегрирования, то интеграл будет сходиться.
Пример 5. 12.
Исследовать
на сходимость интеграл
.
Подынтегральная
функция имеет точку разрыва при
.
.
Интеграл расходится.
5.9. Теоремы о сходимости несобственных интегралов от разрывных функций
Теорема 5.5. Если
функции
и
имеют на отрезке
единственную общую точку разрыва
,
принадлежащую этому отрезку и если
,
то если
сходится, то и
сходится; если же
расходится, то
расходится.
Теорема 5.6. Если
функция
имеет на отрезке
единственную точку разрыва, в которой
она неограниченна, то
если интеграл
сходится, то интеграл
также сходится.
Пример 5.13.
Исследовать
сходимость интеграла
.
Подынтегральная
функция имеет точку разрыва при
.
Для любого значения
справедливо неравенство
.
Так как интеграл
сходится, то (по теореме 5.4) исходный
интеграл также сходится.
5.10. Геометрические приложения определенных интегралов
5.10.1. Вычисление площадей фигур
Используем геометрический смысл определенного интеграла.
Рис. 63 |
Пусть требуется
найти площадь фигуры, ограниченной
графиками функций
Пусть
|
В частном случае,
если криволинейная трапеция ограничена
сверху функцией
,
а снизу осью Ох
(уравнение y
= 0), то
.
Рис. 64 |
Если функции
|
Пример 5.14.
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями:
,
,
(рис. 65).
Рис.65
Построим параболу.
Точки пересечения с осью Ох:
,
,
.
При
.
Найдем вершину параболы:
.
,
,
.
Найдем точки
пересечения параболы с прямой:
,
,
,
,
.
При
и
парабола расположена выше прямой, т. е.
,
.
При
наоборот
,
.
Находим
.
Рис. 66 |
Если фигура
ограничена графиками функций
|