2.2. Логарифмические преобразования

Рассмотрим далее функции вида (2.4), которые являются нелинейными как по параметрам, так и по переменным:

(2.4)

Соотношение (2.4) может быть преобразовано в линейное уравнение путем использования логарифмов. В эконометрике они часто используются, поэтому далее приведена таблица основных свойств логарифмов.

Применение логарифмов

Основные правила:

1. Если

2. Если

3. Если

В данной работе будет использоваться в качестве основания число е, т.е. натуральные логарифмы. Теперь это считается стандартом в эконометрике. Можно обозначать натуральный логарифм с помощью символа ln , а не log, однако в этом уже нет необходимости.

Для натуральных логарифмов справедливо еще одно правило:

4. Если

Используя приведенные выше правила, уравнение (4.4) можно преобразовать в линейное путем логарифмирования его обеих частей. Если соотношение (4.4) верно, то

(2.8)

Если обозначить то уравнение можно представить в следующем виде:

(2.9)

Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вычисляется у' и z для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных значений. Затем оценивается регрессионная зависимость между переменными у' и z. Коэффициент при переменной z будет представлять собой непосредственно оценку . Постоянный член является оценкой ', т.е. log. Для получения оценки  необходимо вычислить exp(').

2.3. Моделирование эластичности.

Функции вида (2.4) часто встречаются в экономике. Например, в разделе 2.1 отмечалось, что это общая форма кривых Энгеля: у представляет собой спрос на товар, х – доход, а  - эластичность спроса по доходу (т.е. эластичность у по х равна .).

Докажем указанное свойство эластичности. Независимо от математической связи между у и х или определения величин у и х, эластичность у по х рассчитывается как относительное изменение у на единицу относительного изменения х:

Эластичность (2.10)

Таким образом, если, например, у - это спрос, а х - доход, то данное выражение определяет эластичность спроса на данный товар по доходу.

Выражение для эластичности можно переписать в следующем виде: (dy/dx)/(y/x). Для примера с функцией спроса его можно представить как отношение предельной склонности к потреблению товара к средней склонности к потреблению данного товара.

Если соотношение между у и х имеет вид (4.4), то:

то это означает, что эластичность спроса по доходу равна 0,3, т.е. изменение х (дохода) на 1% вызывает изменение у (спроса) на 0,3%.

Предположим, имеется обычное линейное уравнение:

(2.11)

В данном случае dy/dx равно ; следовательно, эластичность определяется следующим образом:

Эластичность (2.12)

В этом случае значение эластичности в любой точке будет зависеть не только от значения , но также и от значений у и х в данной точке.

Таким образом, два основных достоинства математической формы (2.4) состоят в следующем:

1. Если эластичность у по х постоянна, то это единственная математическая форма, которая обладает данным свойством. Это, безусловно, означает, что если есть предположение, что эластичность не постоянна, то данное соотношение не следует моделировать с помощью уравнения (2.4).

2. Можно получить прямую регрессионную оценку эластичности путем оценивания зависимости log y от log x. Эта оценка, конечно, будет достоверна только в том случае, если зависимость определяется уравнением (2.4). Если зависимость линейна, то правильная процедура будет состоять в оценивании линейной регрессии между у и х и последующем вычислении х/у.