Лабораторная работа №5

ПОСТРОЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ

1. Цель лабораторной работы.

Целью лабораторной работы является освоение методов построения нелинейных моделей с помощью их приведения к линейному виду или путем использования нелинейной регрессии.

2. Краткая теоретическая часть.

Основные понятия, определения и формулы.

2.1. Метод замены переменных.

Одним из недостатков линейного регрессионного анализа, как это следует из самого названия, является то, что он может быть применен только к линейным уравнениям. В случае простого регрессионного анализа речь идет об уравнениях вида

, (2.1)

состоящих из постоянной величины (которая может и отсутствовать), независимой переменной, умноженной на некоторый коэффициент, и из случайного остаточного члена возмущения, которым можно временно пренебречь. В общем случае линейное уравнение выглядит так, что каждый объясняющий элемент, за исключением постоянной величины, записан в виде произведения переменной и коэффициента:

y=+₁*x₁+₂*x₂+… (2.2)

Уравнения вида

y=+/x (2.3)

и

(2.4)

являются нелинейными. Их графики представлены кривыми.

Зависимости (2.3) и (2.4) считаются приемлемыми для описания кривых Энгеля, характеризующих соотношение между спросом на определенный товар (у) и общей суммой дохода (х).

Чтобы определить параметры  и  в каждом уравнении, зная значения у и х, можно применить линейный регрессионный анализ, для этого потребуется лишь небольшая подготовка. Во-первых, заметим, что уравнения (2.1) и (2.2) являются линейными в двух смыслах. Правая часть линейна по переменным, если определить их в представленном виде, а не как функции. Следовательно, она состоит из взвешенной суммы переменных, а параметры являются весами. Например, в уравнении (2.1) имеется просто х₁, а не log (х₁). Правая часть также линейна по параметрам, так как она состоит из взвешенной суммы параметров, а переменные х в данном случае являются весами.

Для целей линейного регрессионного анализа большое значение имеет только второй тип линейности. Нелинейность по переменным всегда можно обойти путем использования соответствующих определений. Например, предположим, что соотношение имеет вид:

(2.5)

Если определить и т.д., то соотношение примет следующий вид:

(2.6)

и теперь оно является линейным как по переменным, так и по параметрам. Такой тип преобразований является наглядным, но уравнения регрессии, чтобы избежать лишних обозначений, обычно записываются с нелинейными выражениями относительно переменных.

С другой стороны, уравнение типа (2.4) является нелинейным как по параметрам, так и по переменным, и его нельзя преобразовать только путем замены определений. (Не следует думать, что его можно преобразовать в линейное, если определить и подставить z=x^ вместо x; поскольку  неизвестно, нельзя рассчитать выборочное значение z.)

В случае (4.3), однако, единственное, что необходимо сделать, - это определить . Тогда уравнение (4.3) примет вид:

y=+*z (2.7)

и оно будет линейным, можно непосредственно оценивать регрессию между у и z. Постоянный член в уравнении регрессии будет представлять собой оценку , а коэффициент при z - оценку .