- •Электростатика и постоянный ток. Магнетизм
- •Электростатика и постоянный ток.
- •Электрический заряд. Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Напряженность поля.
- •Принцип суперпозиции электрических полей.
- •Поток напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.
- •Потенциал электростатического поля. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении в нём электрического заряда.
- •Примеры применения теоремы Гаусса к расчёту электростатических полей в вакууме.
- •Электрическое поле в диэлектрических средах. Дипольные моменты молекул диэлектрика. Поляризация диэлектрика.
- •Теорема Гаусса для электростатического поля в среде.
- •Условия для электростатического поля на границе раздела изотропных диэлектрических сред.
- •Проводники в электростатическом поле. Электроемкость проводника.
- •Взаимная ёмкость. Конденсаторы.
- •Потенциальная энергия системы точечных зарядов. Энергия заряженного проводника и электрического поля.
- •Постоянный электрический ток. Сила и плотность тока.
- •Законы постоянного тока. Сторонние силы.
- •Правила Кирхгофа
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самоконтроля.
- •Контрольное задание № 3.
- •Магнетизм
- •Магнитное взаимодействие проводников с токами. Контур с током в магнитном поле.
- •Циркуляция магнитного поля ( закон полного тока ) в вакууме. Теорема Гаусса для магнитного поля.
- •Работа перемещения проводника с током в постоянном магнитном поле.
- •Движение заряженных частиц в магнитном и электрическом полях.
- •Магнитные моменты электронов и атомов. Намагниченность вещества.
- •Магнитное поле в веществе. Циркуляция магнитного поля (закон полного тока) в веществе.
- •Условия для магнитного поля на границе раздела изотропных сред.
- •Виды магнетиков.
- •Электромагнитная индукция. Основной закон электромагнитной индукции.
- •Явление самоиндукции.
- •Взаимная электромагнитная индукция.
- •Энергия магнитного поля в неферромагнитной изотропной среде.
- •Система уравнений Максвелла.
- •Примеры решения задач.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Контрольное задание № 4.
- •Беликов б. С. Решение задач по физике. Общие методы: [Учеб. Пособ. Для вузов].–м.: Высш. Школа, 1986. 255 с.
-
Правила Кирхгофа
Рис.1.8
Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
. (1.69)
где: n - число проводников, сходящихся в узле; I k — ток в узле (рис.1.8).
Положительными считаются токи, подходящие к узлу (токи I1, I3, I5), отрицательными — токи, отходящие от узла (токи I2, I4, I6).
Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвлённой электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ik на сопротивление Rk соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре:
= . (1.70)
Для применения второго правила Кирхгофа выбирается определённое направление обхода контура (по часовой стрелке или против неё). Положительными считаются токи, направления которых совпадает с направлением обхода контура. ЭДС источников считаются положительными, если они создают токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура.
-
Примеры решения задач
-
Бесконечная прямая нить, равномерно заряженная электричеством с линейной плотностью 1 = 310-7 Кл/м, и отрезок длины l = 20 см, равномерно заряженный электричеством с линейной плотностью 2 = 210-7 Кл/м, расположены в одной плоскости перпендикулярно друг к другу на расстоянии r0 = 10 см. Определить силу взаимодействия между ними.
Так как в задаче рассматривается взаимодействие равномерно распределённых зарядов, то для нахождения силы F следует воспользоваться соотношением:
dF = dqE . (1)
Будем считать, что нить создаёт вокруг себя электростатическое поле, в которое помещают заряд, равномерно распределённый на отрезке длины l. Если выделить на этом отрезке малый участок длиной dr, то находящийся на нём заряд
dq = 2dr . (2)
. (3)
Выражение (1) можно переписать в скалярной форме, учитывая сонаправленность E и dF (т.к. dF - сила отталкивания).
dF = Edq . (4);
Подставив (2) и (3) в (4) ,получим:
. (5)
Для нахождения результирующей силы, действующей на отрезок нити с зарядом q2 со стороны поля бесконечной прямой нити, проинтегрируем выражение (5) в пределах от r0 до (r0+l);
. (6)
После подстановки числовых значений получим
.
-
Полый стеклянный шар несёт равномерно распределённый по объёму заряд. Его объёмная плотность = 100 нКл/м3. Внутренний радиус шара R1 = 5 см, а наружный R2 = 10 см. Найти напряжённость электрического поля на расстоянии : а) r1 = 3 см; б) r2 = 6 см; в) r3 = 12 от центра шара.
РЕШЕНИЕ:
Так как заряд шара распределён в пространстве симметрично относительно центра шара О, то можно утверждать, что и электрическое поле симметрично относительно этой точки. Это позволяет применить для решения задачи метод Гаусса. Из симметрии задачи следует, что вектор Е направлен вдоль r и зависит только от расстояния до центра шара r. Выбираем гауссову поверхность в виде сферы переменного радиуса r с центром в точке О. Учтем, что модуль напряжённости поля шара одинаков во всех точках этой поверхности, а Е n = E r. Так как шар диэлектрический, следует применить теорему Гаусса для вектора электрического смещения D. Тогда поток вектора смещения сквозь выбранную поверхность
ND = = = DS = D4r2 , (1)
где S - площадь гауссовой поверхности, r - её радиус.
Всё пространство можно разбить на 3 области:
1) 0 < r < R1 2) R1 < r < R2 3) r > R2. Применим теорему Гаусса для каждой области.
-
Величина свободного заряда, охватываемого поверхностью интегрирования в пределах первой области равна нулю. Следовательно, поток вектора смещения также равен нулю, а так как площадь поверхности не нулевая, то смещение и напряжённость поля в пределах первой области равна нулю :
D1 = 0, Е1 = D/0 = 0 . (2)
2) R1 < r < R2
Суммарный свободный заряд, охватываемый гауссовой поверхностью, может быть выражен через объём той части шара, в которой он сосредоточен:
q своб = (r23-R13) . (3)
Применяя теорему Гаусса, получим:
D24r22 = E2 = = =, (4)
где: - диэлектрическая проницаемость стекла.
В/м .
3) r > R2
Внутрь поверхности попадёт весь заряд шара, поэтому
q своб = (4/3)(R23 - R13). (5)
и применив теорему Гаусса:
D3 4r32 = (4/3) (R23 - R13) Е 3 = D 3/0 =. (6)
Е3= В/м.
3. Тонкий стержень согнут в полукольцо. Стержень заряжен с линейной плотностью =133 нКл/м. Какую работу нужно совершить, чтобы перенести заряд q=6,7нКл из центра полукольца в бесконечность ?
РЕШЕНИЕ
Работа, совершаемая силами электростатического поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2, может быть выражена по формуле А = q(1 - 2), где 1 и 2 -
потенциалы электрического поля, созданного полукольцом в центре и на бесконечности. Примем 2 = 0. Тогда
А = q1. (1)
Потенциал 1 найдём, используя принцип суперпозиции для потенциала поля, созданного непрерывно распределёнными зарядами. Для этого разобьем полукольцо на элементарные отрезки длиной dl. Заряд, находящийся на каждом из них, можно считать точечным и равным dq = dl. Потенциал поля такого заряда равен .
Интегрируя полученное выражение в пределах от нуля до длины полуокружности l = R, получим искомый потенциал:
1=, . (2).
Подставляем (2) в (1) :
А = q1 = .
Подставляя числовые значения заданных величин, получим:
Дж.
4. Металлическому изотропному шару радиусом R сообщили заряд Q, после этого поверхность шара покрыли слоем диэлектрика толщиной h. Чему равна плотность связанных зарядов на внешней и внутренней поверхностях диэлектрика и полный наведённый заряд, если относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика .
Применим теорему Гаусса для вектора D. Поверхность интегрирования выберем в виде сферы с радиусом равным R и центром совпадающим с центром металлического шара.
.
В виду симметрии задачи интеграл в левой части равен
.
сравнивая две формулы получим выражение для модуля электрического смещения
D = Q/4R 2.
С другой стороны по определению:
D = 0E + P .
Используя связь между вектором поляризации и напряженностью электрического поля, запишем: P = 0E = ( - 1) 0E, E = P/( - 1) 0 ,
где - восприимчивость диэлектрика,
Подставляя это выражение в формулу для электрического смещения, получим:
.
Учитывая, что вектора D и P параллельны и, используя результат применения теоремы Гаусса , запишем выражение для модуля вектора поляризации
. (1)
Так как P перпендикулярен поверхности диэлектрика и нормальная составляющая вектора поляризации равна поверхностной плотности связанных зарядов:
P = P n = , (2 )
то сразу получаем выражение для 1- плотности связанных зарядов на внутренней поверхности диэлектрика
. (3)
и q - полного заряда, наведенного на внутренней поверхности диэлектрика, связанного с 1 соотношением q = 4R21.
q . (4)
В силу закона сохранения заряда точно такой же по модулю, но противоположный по знаку заряд должен появиться на внешней поверхности диэлектрика. Очевидно, что его плотность будет
.
5. На два последовательно соединенных конденсатора С1 = 100 пф и С2 = 200 пф подано постоянное напряжение U = 300 В. Определить энергию запасенную в каждом конденсаторе.
РЕШЕНИЕ
C 1U 1 = C 2U 2 (1)
с другой стороны
U 1 + U 2 = U (2)
Решая совместно эту систему уравнений найдем напряжение на первом и втором конденсаторе
. (3)
. (4)
Подставляя эти значения в формулу для энергии конденсатора, получим
. (5)
. (6)
Подставляя значения величин найдем:
WЭ1 = 210-6 Дж = 2 мкДж, WЭ2 = 110-6 Дж = 1 мкДж.
РЕШЕНИЕ
Для того, чтобы найти напряженность электрического поля в проводнике, воспользуемся законом Ома в дифференциальной форме:
j = E , (1)
где j – плотность тока, E – вектор напряженности электрического поля, - электропроводность вещества проводника, равная 1/.
Величина искомой напряженности электрического поля в проводнике, согласно (1), определяется соотношением:
E = j / = j. (2)
Таким образом, задача нахождения напряженности поля сводится к задаче нахождения величины плотности тока j в цепи.
Плотность тока можно найти, если известна сила тока I, протекающего по проводнику:
j = I / S. (3)
Полный ток в цепи найдем из закона Ома для полной цепи:
I = / (R + r), (4)
где r – внутренне сопротивление источника, а R - сопротивление проводника.
Для R справедливо:
R = l/S. (5)
Объединяя формулы (2) - (5), окончательно запишем:
E = j = I / S = / (R + r)S = / (l / S + r)S. (6)
Подстановка в (6) численных данных позволяет написать ответ:
Е = 0,4 В/м.
7. Падение напряжения в проводнике, состоящем из двух последовательно соединенных кусков медной проволоки одинаковой длины (l1 = l2 = 10 м) но разного диа-
РЕШЕНИЕ
Удельная тепловая мощность тока (плотность тепловой мощности) равна:
w = E 2 = E2 = j 2 . (1)
Поэтому, чтобы найти w2 необходимо определить две величины: количество тепла Q2 , которое выделяется в более тонком проводнике в единицу времени и объем этого проводника. Сделаем это в общем виде.
Количество теплоты Q2 можно найти, если учесть, что ток I в проводниках один и тот же, а сопротивление более тонкого отрезка проводника в четыре раза больше, чем у толстого (отношение сопротивлений определяется соотношением
= = = 4. (2)
Согласно закону Джоуля-Ленца, представленному в интегральной форме,
, (3)
где Q1 – тепло, выделяющееся в единицу времени в более толстом проводнике.
Общая энергия, которая выделяется во всем проводнике равна:
, (4)
где U – падение напряжения в проводнике.
Из (4) следует, что количество теплоты, выделяющееся во втором проводнике в единицу времени равно:
. (5)
В (5) все величины, кроме сопротивления второго участка проводника, известны. Однако в знании R2 нет необходимости. Действительно, если связать между собой объем второго проводника с его сопротивлением
, (6)
то нетрудно видеть, что удельная тепловая мощность тока во втором проводнике не зависит от его сопротивления:
. (7)
Подставляя в (7) численные данные получаем ответ:
w 2 = 3.76 10 7 Вт/м3.
РЕШЕНИЕ
Сопротивление диэлектрика между обкладками сферического конденсатора можно найти просуммировав сопротивления граничащих друг с другом сферических слоев толщиной dr:
. (1)
В формуле (1): a – это радиус внутренней обкладки сферического конденсатора, b – внешней; 0 – электрическая постоянная. C – емкость конденсатора, определяемая соотношением:
. (2)
Из (1) следует, что для определения величины удельного сопротивления материала прокладки достаточно найти произведение емкости конденсатора на полное сопротивление прокладки:
. (3)
Это можно сделать, если учесть, что за время dt конденсатор теряет заряд:
, (4)
где I – ток утечки. Знак «-» в (4) учитывает тот факт, что заряд конденсатора со временем убывает.
По закону Ома:
, (5)
где U – разность потенциалов между обкладками конденсатора, равная по определению:
, (6)
где q – заряд конденсатора.
Объединяя (1), (4)-(6), получаем дифференциальное соотношение, в которое входит искомое произведение CR:
. (7)
После интегрирования получаем:
, (8)
где q1 – начальный заряд конденсатора, q2 – конечный.
Подставляя CR из (8) в (3), окончательно имеем:
.