![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Пределы и их свойства
- •2. Дифференцирование функции одной переменной
- •3. Интегральное исчисление
- •3.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2. Метод подстановки.
- •3. Метод интегрирования по частям.
- •3.2. Определенный интеграл
- •Формулы площадей плоских фигур.
- •2. Формулы объемов тел вращения.
- •4. Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике
- •5. Основы теории вероятностей
- •Виды случайных событий
- •Полная группа событий
- •Исходы испытания
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •6. Случайные величины и их числовые характеристики
- •6.1. Дискретная случайная величина
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Решение:
- •6.2. Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины Математическое ожидание
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение:
- •6.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины (закон Гаусса)
- •7. Элементы математической статистики
- •Оценка параметров генеральной совокупности
- •Литература
- •Содержание
6. Случайные величины и их числовые характеристики
Величина, принимающая свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания, причем для каждого элементарного исхода имеющая одно единственное значение, называется случайной.
6.1. Дискретная случайная величина
Величина, принимающая отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями называется дискретной случайной величиной.
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Математическое ожидание
Математическим
ожиданием
дискретной случайной величины
называется сумма произведений всех
возможных ее значений на соответствующие
им вероятности:
Свойства математического ожидания
-
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
,
где
.
-
Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий этих величин:
.
Следствие.
Если
,
то
3. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
,
где
.
4.
Математическое ожидание
числа появлений события
в
независимых испытаниях (математическое
ожидание биноминального распределения)
равно произведению числа испытаний на
вероятность появления события в каждом
испытании:
.
Дисперсия
Дисперсией
дискретной случайной величины
называется математическое ожидание
квадрата отклонения этой величины от
ее математического ожидания:
.
Для вычисления дисперсии также можно использовать следующую формулу:
,
т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом её математического ожидания.
Свойства дисперсии
-
Дисперсия постоянной величины равна нулю:
,
.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:
,
.
-
Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
.
-
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
.
-
Если
, то
.
Замечание
2. Для
вычисления дисперсии биноминального
распределения можно воспользоваться
следующей формулой:
,
где
– число испытаний;
– вероятность осуществления события
в одном испытании;
– вероятность осуществления события
(противоположного событию
)
в одном испытании.
Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим
отклонением случайной величины
называется квадратный корень из
дисперсии:
.
Замечание
3. На
основании данного определения для
обозначения дисперсии часто
используется символ
.
Пример
1.
Задан
закон распределения дискретной случайной
величины
:
-
X
10
30
50
70
90
P
0,1
0,2
0,1
0,2
0,4
Найти:
1)
математическое ожидание
,
дисперсию
и среднее квадратическое отклонение
;
2)
составить функцию распределения
случайной величины
и
построить ее график;
3)
вычислить вероятности попадания
случайной величины
в
интервал
,
пользуясь составленной функцией
распределения
;
4)
составить закон распределения случайной
величины
;
5)
вычислить математическое ожидание и
дисперсию составленной случайной
величины
двумя способами: пользуясь свойствами
математического ожидания и дисперсии,
а также непосредственно по закону
распределения случайной величины
.