![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Пределы и их свойства
- •2. Дифференцирование функции одной переменной
- •3. Интегральное исчисление
- •3.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2. Метод подстановки.
- •3. Метод интегрирования по частям.
- •3.2. Определенный интеграл
- •Формулы площадей плоских фигур.
- •2. Формулы объемов тел вращения.
- •4. Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике
- •5. Основы теории вероятностей
- •Виды случайных событий
- •Полная группа событий
- •Исходы испытания
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •6. Случайные величины и их числовые характеристики
- •6.1. Дискретная случайная величина
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Решение:
- •6.2. Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины Математическое ожидание
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение:
- •6.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины (закон Гаусса)
- •7. Элементы математической статистики
- •Оценка параметров генеральной совокупности
- •Литература
- •Содержание
4. Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике
Основные понятия
Дифференциальные уравнения являются мощнейшим математическим аппаратом для изучения процессов, протекающих в природе.
Приведем примеры дифференциальных уравнений, описывающих физические процессы:
-
Второй закон Ньютона
можно записать, используя дифференциальные уравнения:
,
,
;
-
уравнение радиоактивного распада
(k – постоянная распада, х – количество неразложившегося вещества в момент времени t, скорость распада
пропорциональна количеству распадающегося вещества).
-
Основной закон электромагнитной индукции записывается в виде дифференциального уравнения:
и т. д.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее производные от искомой функции или ее дифференциалы.
В дифференциальном уравнении неизвестной является функция, входящая в уравнение под знаками производных (или дифференциалов) того или иного порядка.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной или дифференциала, содержащегося в этом уравнении.
Общий вид
дифференциального уравнения n-го
порядка следующий:
,
причем в частных случаях в это уравнение
могут не входить x,
y
и отдельные производные порядка ниже,
чем n.
Если искомая
функция
есть функция одного аргумента, то
дифференциальное уравнение называется
обыкновенным. Если же искомая функция
зависит от нескольких аргументов и
дифференциальное уравнение содержит
ее частные производные по этим аргументам,
то оно называется дифференциальным
уравнением в частных производных.
Дифференциальное
уравнение называется линейным, если
его левая часть есть многочлен первой
степени относительно неизвестной
функции y
и ее производных
(и не содержит их произведений), т. е.
если это уравнение имеет вид
.
Здесь функции
,
обычно определенные и непрерывные в
некотором общем интервале, называются
коэффициентами линейного уравнения,
а функция
– правой частью или свободным членом.
Если правая часть
линейного уравнения тождественно равна
нулю, то уравнение называется однородным
(или без правой части), в противном
случае это уравнение называется
неоднородным (или с правой частью).
Решением
дифференциального уравнения
называется всякая функция
,
которая, будучи подставлена в исходное
дифференциальное уравнение, обращает
его в тождество.
Например, решением
уравнения теплопроводности
(уравнения в частных производных)
является функция
.
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Различают общее и частное решения дифференциального уравнения.
Общим решением
дифференциального уравнения
называется такое его решение
,
которое содержит столько независимых
произвольных постоянных
,
каков порядок этого уравнения.
Произвольные постоянные называются независимыми, если общее число постоянных, входящих в состав функции f , не может быть уменьшено путем введения других произвольных постоянных.
Если общее решение
дифференциального уравнения получают
в неявном виде
,
то оно называется общим интегралом.
Отыскание частного
решения (частного интеграла)
дифференциального уравнения n-го
порядка (n
= 1,2,3,…),
удовлетворяющего n
начальным условиям вида
,
,
,…,
,
называется задачей Коши.
Геометрически каждому частному решению дифференциального уравнения соответствует график общего решения – плоская линия, которая называется интегральной кривой этого уравнения, а общему решению соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.
Рассмотрим методы решения некоторых типов дифференциальных уравнений.
Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными
К таким уравнениям относятся уравнения вида
.
Путем алгебраических
преобразований данное уравнение
приводят к уравнениям вида
,
называемым уравнениями с разделенными
переменными. Функции
,
считают непрерывными.
После интегрирования
уравнения
находим общее решение дифференциального
уравнения или общий интеграл:
.
Здесь
– общее решение.
Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка
Уравнение
называется однородным, если P
и Q
однородные функции от x
и y
одинакового измерения.
Однородные
уравнения приводятся к виду
и решаются подстановкой
как уравнения с разделяющимися
переменными.
Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка
-
Уравнение вида
решается последовательным n-интегрированием правой части. При каждом интегрировании получается одно произвольное постоянное, а в окончательном результате – n произвольных постоянных.
-
Уравнение
, не содержащее y в явной форме, приводиться подстановкой
,
к уравнению первого порядка
.
-
Уравнение
, не содержащее x в явной форме, подстановкой
,
приводиться к уравнению первого порядка
.
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение
,
в котором коэффициенты
постоянны, можно привести к уравнению
вида
Частное решение
такого уравнения ищется в виде функции
.
Дважды дифференцируя эту функцию и
подставляя выражения
,
,
,
получим уравнение
.
Так как
,
то, сокращая на
,
получим уравнение
.
Алгебраическое
уравнение
для определения коэффициента k
называется характеристическим
уравнением
данного дифференциального уравнения.
Характеристическое уравнение является уравнением второй степени и имеет два корня. Эти корни могут быть или действительными различными, или действительными и равными, или комплексными сопряженными.
Приведем таблицу
формул общего решения уравнения
в зависимости от вида корней
характеристического уравнения:
Уравнение |
|
||
Характеристическое уравнение |
|
||
Корни характеристического уравнения |
|
|
|
Фундаментальная система частных решений |
|
|
|
Формула общего решения |
|
|
|
Решение типовых задач
-
Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение
xydx + (x + 1)dy = 0.
Решение:
Задано дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
Разделим переменные: (x + 1)dy = – xydx;
;
проинтегрируем
уравнение:
;
;
.
Таким образом,
– общее решение дифференциального
уравнения.
-
Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение
.
Решение:
Задано однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Приведем его к
виду
:
.
Подстановкой
,
,
приведем данное уравнение к уравнению
с разделяющимися переменными:
.
Разделим переменные:
.
Проинтегрируем последнее уравнение:
;
.
Выполним обратную
подстановку: так как
,
то получаем:
или
– общий интеграл заданного дифференциального
уравнения.
-
Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение
.
Решение:
Задано дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка и не содержащее х в явном виде.
Понизим порядок
данного уравнения подстановкой
,
:
.
Разделим переменные:
.
Проинтегрируем последнее уравнение:
.
Так как
,
то получаем дифференциальное уравнение
первого порядка с разделяющимися
переменными:
.
Разделим переменные и проинтегрируем:
;
.
Найдем левый интеграл, используя метод замены переменной:
(т. к.
,
поэтому получаем)
.
Окончательно находим:
.
Таким образом,
– общее решение дифференциального
уравнения.
-
Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение
,
,
.
Решение:
Задано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составим и решим характеристическое уравнение:
.
По теореме Виета
находим корни:
,
то есть корни действительные и различные.
Из таблицы формул общего решения
находим, что
,
есть общее решение заданного
дифференциального уравнения.
Значения постоянных
найдем из начальных условий:
Вычисляем
производную
и получаем систему линейных уравнений:
.
Запишем частное
решение:
.
Таким образом,
– частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Упражнения
Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
-
-
-
-
-
-
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
Задание 2. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
-
, при x=0, y=0;
-
-
-
-
-
-
-
Задание 3. Найти общее решение и, где указано, частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
-
-
-
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-