7. Элементы математической статистики

Общие положения и определения

При решении многих практических задач, связанных со статистическими моделями, необходимые вероятностные характеристики случайных величин неизвестны и должны определяться по экспериментальным данным.

Такое статистическое описание результатов экспериментов, построение и проверка различных математических моделей, использующих понятие вероятности, составляют основное содержание математической статистики.

Методы математической статистики расширяют возможности научного предсказания и целесообразного принятия решений в условиях неопределенности, когда принципиально не может быть известен полный комплекс условий проведения эксперимента.

Основополагающими понятиями статистической теории являются понятия генеральной совокупности и выборки.

Совокупность, состоящая из всех объектов, которые могут быть к ней отнесены, называется генеральной.

Число всех объектов, составляющих генеральную совокупность, называется ее объёмом и обозначается .

Конечный набор объектов, случайным образом отобранный из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью, или выборкой.

Число объектов выборки называется ее объёмом и обозначается .

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно полно характеризует генеральную совокупность.

При отсутствии какой-либо дополнительной информации о специфических особенностях изучаемого явления наилучшим средством получения репрезентативной выборки является случайный выбор ее элементов.

Статистические оценки и их свойства

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных – результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики состоит в том, чтобы указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:

оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;
проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема , т.е. по некоторой части генеральной совокупности высказать обоснованное суждение о свойствах генеральной совокупности в целом.

Использование выборочного метода при изучении генеральной совокупности неизбежно приводит к ошибкам – ошибкам репрезентативности, имеющим следующие особенности:

Возможную величину ошибок репрезентативности определяют из анализа выборочных данных и учитывают их при оценке генеральных параметров.
Ошибки репрезентативности можно свести к достаточно малой величине (путем увеличения объема выборочных данных).

Вероятности, признанные достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании выборочных показателей, называют доверительными (или ).