raznoe / Tipovoiy raschet po mehanike Ermakov

Вариант №1.

1. Два цилиндра: полый (m₁ = 1 кг) и сплошной (m₂ = 3 кг), радиусы которых R₁=R₂=5 см, скатываются без проскальзывания друг за другом с наклонной плоскости, составляющей угол = 30⁰ с горизонтом. Определить ускорение цилиндров, если их оси жестко скреплены между собой невесомыми стержнями. При каком минимальном значении коэффициента трения возможно качение цилиндров без проскальзывания.

2. Диск массы m = 200 кг и радиуса R = 10 м лежит на гладкой горизонтальной поверхности. На краю диска стоит человек массы m₁ = 70 кг. Человек прыгает с диска со скоростью V₀ = 4 м/с (относительно Земли). Вектор V₀ составляет с радиус-вектором, проведенным из центра диска к точке, где стоял человек, угол = 60⁰. Определить скорость движения центра масс диска и угловую скорость его вращения.

3. Найти собственную длину стержня, если в системе отсчета, движущейся со скоростью V = 1/2 C, его длина = 1 м. Угол между стержнем и направлением движения = 45⁰ .

Вариант № 2.

1. Диск (m = 200 г, R = 10 см) раскручивают до угловой скорости = = 100 1/с и кладут плашмя на неподвижную скамью Жуковского, момент инерции которой = 0,01 кг м² . С какой скоростью будет вращаться скамья с диском после того как закончится проскальзывание диска по поверхности скамьи? Определить время , в течение которого диск будет скользить по скамье, если коэффициент трения между диском и скамьей = 0,2.

2. Шарик из пластилина (m₀ = 10 г) двигавшийся со скоростью V₀= 5м/с перпендикулярно оси гантели, испытал неупругое лобовое соударение с одним из ее шаров. Масса каждого шара гантели m=5 г, расстояние между ними = 1 см (стержень, соединяющий шары, невесом). Определить скорость движения полученной после соударения системы. Будет ли она после удара вращаться и, если да, то с какой угловой скоростью.

3. В одной из систем отсчета замерено время = 5 мкс между двумя событиями. Какую длительность между этими событиями зарегистрирует прибор, находящийся в системе отсчета движущейся со скоростью V = 0,5 С по отношению к исходной?

Вариант № 3

1. На круглый сплошной цилиндр (m = 2 кг) свободно надето колесо (m_к =10 кг), которое может вращаться вокруг цилиндра без трения. Цилиндр положен на два параллельных бруса, наклоненных к горизонту под углом =30⁰ . С каким ускорением будет двигаться эта система, если цилиндр катится по направляющим без проскальзывания?

2. Диск массы m = 2 кг и радиуса R = 10 см может свободно вращаться вокруг оси проходящей перпендикулярно его плоскости через центр диска. В обод диска попадает шарик из пластилина (m₀ = 10 г) летящий со скоростью V₀ = 10 м/с под углом = 30⁰ к касательной к ободу, и прилипает к нему. С какой угловой скоростью будет вращаться дискпосле удара, если до него он был неподвижен. Какой процент энергии перейдет в тепло?

3. Космические протоны могут обладать кинетической энергией 10¹⁰ ГэВ. Определить массу и импульс этих протонов. Сравните эту массу с массой покоя.

Вариант № 4

1. Колесо (m₀ = 5 кг) может без трения вращаться вокруг оси. Ось выполнена в виде тонкостенного полого цилиндра (m = 1 кг, r = 1 см). Цилиндр положен на два параллельных бруса, наклоненных к горизонту под углом = = 45⁰ . При каком значении коэффициента трения возможно качение цилиндра по направляющим без проскальзывания?

2. Тонкий однородный стержень (= 10 см, m = 400 г) вращается с угловой скоростью = 60 1/с вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему. В некоторый момент стержень разрывается на две равные части длиной /2. Пренебрегая работой, совершаемой при разделении, определить с какими скоростями будут лететь эти части. Будут ли они вращаться и, если да, то с какой угловой скоростью.

3. В лабораторной системе отсчета из пунктов А и Б, расстояние между которыми = 3 10⁶ км, одновременно стартуют два космических корабля навстречу друг другу. Их скорости: V₁ = 1/4 С и V₂ = 1/2 С. Каковы будут показания часов на кораблях при их встрече?

Вариант № 5

1. Найти ускорение системы состоящей из двух цилиндров (полого m₁ = 1 кг и сплошного m₂ = 4 кг) скрепленных между собой невесомыми стержнями. Эта "тележка" скатывается с наклонной плоскости составляющей угол = 45⁰ с горизонтом. Полый цилиндр катится с проскальзыванием, а сплошной - катится без проскальзывания. Считая, что = 0,5, а R₁=R₂ = 5 см, определите ускорение системы .

2. На краю неподвижной платформы (m = 1 т), имеющей форму диска радиуса R = 10 м, находится человек (m₁= 70 кг). На какой угол повернется платформа, если человек, двигаясь по ее краю, обойдет ее и вернется в исходную точку на платформе. Трением при вращении платформы пренебречь, человека рассматривать как материальную точку.

3. Электрон движется со скоростью равной 0,6 скорости света. Определить его импульс.

Вариант № 6

1. Через невесомый блок переброшена нерастяжимая нить, один конец которой прикреплен к висящему грузу массы m₁ = 4 кг, а другой намотан на полый цилиндр (m₂= 2 кг). Цилиндр может катиться без проскальзывания по наклонной плоскости, составляющей угол = 30⁰ с горизонтом. При этом нить расположена над цилиндром параллельно наклонной плоскости. Определить с каким ускорением будет падать вниз груз m₁ ?

2. На гладкой горизонтальной поверхности лежит стержень (= 10 см, m = 200 г). Шарик, массой m₀ = 5 г, летящий со скоростью V₀ = 10 м/с перпендикулярно стержню, ударяется в его конец. Считая удар абсолютно упругим, определите скорость ц.м. стержня после удара. Будет ли он вращаться и, если да, то с какой угловой скоростью?

3. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в два раза превышает его ньютоновский импульс.

Вариант № 7

1. Два цилиндра - сплошной (m₁ = 4 кг) и пустотелый (m₂= 1 кг) скатываются с наклонной плоскости, составляющей угол = 30⁰ с горизонтом. Оси цилиндров скреплены между собой рамой, масса которой m₀ = 6 кг. С каким ускорением будет двигаться эта тележка, если цилиндры катятся без проскальзывания. Радиусы цилиндров равны между собой. Как изменится ответ, если цилиндры поменять местами?

2. На гладкой горизонтальной поверхности лежит длинная доска массы m = 10 кг. На доску сверху положили вращающийся сплошной цилиндр (m₀ = = 5 кг, R = 10 см) раскрученный до угловой скорости = 60 1/с. Цилиндр начал катиться вдоль доски. С какой скоростью будет двигаться доска в момент, когда прекратится проскальзывание цилиндра по ее поверхности?

3. Найти скорость, при которой полная энергия релятивистской частицы превосходит ее кинетическую энергию в два раза.

Вариант № 8

1. Тележка представляет собой два цилиндра (полый - m₁ = 1 кг и сплошной m₂ = 6 кг), скрепленных между собой рамой, массы m₀ = 10 кг. Она скатывается с наклонной плоскости, составляющей угол = 30⁰ с горизонтом. С каким ускорением будет двигаться тележка, если задний (полый) цилиндр заторможен, а передний катится без проскальзывания. Коэффициент трения = 0,1, радиусы цилиндров равны.

2. С какой минимальной скоростью должен скользить куб с ребром = = 10 см, чтобы при ударе о выступ он перевернулся? Момент инерции куба относительно оси проходящей через ц.м. .

3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями V₁= 0,5 С и V₂ = 0,6 С в лабораторной системе отсчета. Найти их относительную скорость в системе отсчета, связанной с одной из частиц.

Вариант № 9

1. Один конец нити намотан на сплошной цилиндр (m₁ = 4 кг), а второй на полый (m₂= 1 кг). Систему кладут на два параллельных бруса, наклоненных к горизонту под углом = 30⁰, так что сплошной цилиндр движется впереди полого; нить при этом сматывается с полого цилиндра и накручивается на сплошной. Определить ускорение системы и силы трения, действующие на каждый цилиндр, если она катятся без проскальзывания, а R₁=R₂. Нить расположена над цилиндрами.

2. Шарик массы m₀ = 10 г, двигавшийся со скоростью V₀ = 5 м/с, испытал упругое лобовое соударение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели (вектор V₀ перпендикулярен оси гантели). Масса каждого шарика гантели m = 5 г, расстояние между ними = 1 см (стержень, соединяющий шарики, невесом). Определить скорость движения ц.м. гантели после удара. Будет ли она вращаться и если да, то с какой угловой скоростью. Вся система находится на гладкой горизонтальной поверхности.

3. Кинетическая энергия электрона равна 0,7 МэВ. Определить его импульс.

Вариант № 10

1. После удара бильярдный шар начал скользить без вращения со скоростью V₀ = 2 м/с по горизонтальной плоскости. По мере движения он начинает раскручиваться, а затем катится без проскальзывания. Какой путь пройдет шар до прекращения проскальзывания, если коэффициент трения = 0,3. Какое время займет этот процесс.

2. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг общей вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны =0,2 кг м² и = 0,3 кг м², а угловые скорости соответственно = 5 1/с и = 10 1/с. Верхний диск осторожно опускают на нижний, после чего благодаря трению они начинают вращаться как единое целое. Найти установившуюся общую угловую скорость дисков. Какой процент энергии при этом переходит в тепло?

3. В К-системе отсчета- мезон, движущийся со скоростью V=0,99 С, пролетел от момента своего рождения до точки распада расстояние = 3 км. Определить собственное время жизни мезона.

Вариант № 11

1. Длинный сплошной цилиндр радиуса R = 3 см, раскрученный вокруг оси до угловой скорости = 100 1/с осторожно опустили на горизонтальный стол. Скользя по столу, он начал двигаться вперед, а затем покатился без проскальзывания. Какой путь пройдет цилиндр до прекращения проскальзывания, если коэффициент трения = 0,2. Какое время займет этот процесс?

2. Маятник в виде однородного шара (m = 10 кг, R = 15 см) жестко скрепленного с тонким невесомым стержнем, длина которого равна радиусу шара, может качаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня. В центре шара перпендикулярно к его поверхности ударилась пуля m₀= 10 г, летевшая горизонтально со скоростью V₀ = 800 м/с и застряла там. На какой угол отклонится маятник после удара пули? Какой процент энергии системы перейдет в тепло?

3. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью V = 3/4 С, попали в неподвижную мишень с интервалом времени = 50 нс. Найти собственное расстояние между частицами до попадания в мишень.

Вариант № 12

1. Катушка с ниткой находится на плоскости с углом наклона = 60⁰. Свободный конец нитки прикреплен к стене так, что нить параллельна наклонной плоскости и проходит выше оси катушки. Определить ускорение, с которым катушка будет двигаться по наклонной плоскости, если ее масса m= 50 г, момент инерции =5 10^-6 кг м², а характерные радиусы катушки R = 3 см и r = 2 см. Коэффициент трения = 0,1.

2. Спиральный лабиринт массы m = 5 кг с моментом инерции = =10^-3кгм² и радиусом R = 10 см лежит на гладкой горизонтальной поверхности (лабиринт - это диск со спиральной канавкой). В него влетает шарик массы m₀ = 200 г летящий со скоростью V₀ = 20 м/с. Попав в лабиринт, шарик, закручиваясь по спирали, оказывается в его центре. Найти угловую скорость лабиринта после того как шарик остановится. Размерами шарика пренебречь.

3. Плотность покоящегося тела равна . Найти скорость системы отсчета, в которой его плотность будет на 10% больше.

Вариант № 13

1. Катушка с нитью находится на наклонной плоскости с углом наклона = 30⁰. Свободный конец нити прикреплен к стене так, что нить параллельна плоскости и при этом проходит ниже оси катушки. Определить ускорение, с которым катушка будет двигаться по наклонной плоскости, если ее масса m = = 50 г, момент инерции = 5 10^-6 кг м², а характерные радиусы R = 3 см и r = 2 см. Коэффициент трения m = 0,1.

2. Пуля массой m₀ = 10 г, летящая горизонтально со скоростью V₀ = = 800 м/с попадает в покоящийся на горизонтальном шероховатом столе деревянный шар массой m = 10 кг и радиусом R = 0,5 м и застревает в нем. Удар пришелся на расстоянии = 40 см выше центра масс шара. Спустя некоторое время движение шара по столу переходит в качение без проскальзывания. Определить скорость ц.м. шара в этот момент. Считать, что m₀<< m .

3. Метровая линейка движется мимо наблюдателя со скоростью, составляющей 60% скорости света. Какова ее длина для наблюдателя?

Вариант № 14

1. Определить натяжение каждой из двух нитей связывающих оси цилиндров катящихся друг за другом с наклонной плоскости составляющей угол = 60⁰ с горизонтом, если цилиндры катятся без проскальзывания при этом один из них полый (m₁ = 2 кг), а второй сплошной (m₂ =8 кг). Радиусы R₁=R₂. В какой последовательности должны двигаться цилиндры, чтобы нить была натянута?

2. Диск массы m = 200 г и радиуса R = 10 см покоится на гладкой горизонтальной поверхности. На краю диска находится шарик (m₁ = 50 г) прикрепленный к сжатой пружине. После выстрела от летит по касательной к ободу диска. Определите скорость движения ц.м. диска. Будет ли он вращаться после выстрела и если да, то с какой угловой скоростью. Коэффициент жесткости пружины К = 600 Н/м, она сжата на х = 4 см.

3. Как преобразуется плотность вещества при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой?

Вариант № 15

1. На горизонтальном столе лежит катушка ниток. С каким ускорением будет двигаться ось катушки, если нить тянуть с силой F = 2 Н. Масса катушки m = 50 г, момент инерции = 5 10^-6 кг м², а характерные радиусы R = 2 см и r = 1 см. Задачу решить для двух случаев: когда нить составляет с горизонтом угол = 30 ⁰ , и когда = 70⁰. В каждом случае укажите направление движения. Катушка катится по столу без проскальзывания. Нить расположена ниже оси катушки.

2. Тонкий стержень массы m и длины = 60 см подвешен за один конец и может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. К той же оси подвешен на нити длины шарик такой же массы m. Шарик отклоняют на некоторый угол и отпускают. При какой длине нити шарик после удара остановится, если удар абсолютно упругий.

3. Две частицы летят в противоположные стороны с относительной скоростью V = 0,5 С. Одна из них испускает фотон в направлении своего движения. Вычислить скорость фотона по отношению ко второй частице.

Вариант № 16

1. Через невесомый блок переброшена нить, к концу которой привязан груз массы m₁= 1 кг. Другой конец нити прикреплен к оси сплошного цилиндра, который может катиться по наклонной плоскости, составляющий угол = 30⁰ с горизонтом. Масса цилиндра m₂ = 5 кг. Определить с каким ускорением будет двигаться груз массы m₁ . При каком значении коэффициент трения цилиндр будет катиться без проскальзывания ? Нить параллельна наклонной плоскости.

2. По гладкой горизонтальной поверхности скользит шар (m = 100 г, R= = 5 см) со скоростью V₀ . Шар неупруго ударяется о ступеньку высотой h = =1 см. С какой минимально скоростью V₀ должен скользить шар, чтобы преодолеть эту ступеньку.

3. При какой скорости полная энергия электрона в два раза больше его кинетической энергии.

Вариант № 17

1. Колесо массы m = 5 кг может без трения вращаться вокруг оси, выполненной в виде полого цилиндра (m₂ = 1 кг, r = 1 см). На ось симметрично наматывают нити, закрепленные к потолку и системе, дают возможность свободно опускаться. Найдите ускорение системы.

2. Пуля массой m₀ = 10 г, летящая горизонтально со скоростью V₀ = =800 м/с, попадает в покоящийся на горизонтальном шероховатом столе деревянный шар массой m = 10 кг и радиусом R =0,5 м и застревает в нем. Удар пришелся на расстоянии = 40 см ниже центра масс шара. Спустя некоторое время движение шара переходит в качение без проскальзывания. Определить скорость ц.м. шара в этот момент. Считать, что m₀ <<m. Каков процент энергии перешедшей в тепло?

3. Скорость электрона составляет 0,9 скорости света. Вычислить в процентах, какая ошибка будет сделана, если кинетическую энергию частицы вычислять по формуле классической механики.

Вариант № 18

1. Система состоит из полого (m₁ = 1 кг) и сплошного (m₂ = 4 кг) цилиндра. Они катятся друг за другом (вплотную) без проскальзывания с наклонной плоскости составляющей угол a = 30⁰ с горизонтом. Определить ускорение цилиндров, если трением между ними можно пренебречь, а их радиусы равны. Какой из цилиндров при этом должен катиться первым, чтобы контакт между ними сохранился?

2. На гладкой горизонтальной поверхности лежит стержень (= 10 см, m = 200 г). Пластилиновый шарик массы m₀ = 5 г, летящий со скоростью V₀ = 10 м/с с перпендикулярно к стержню, ударяется в него на расстоянии b = 1 см от его конца и прилипает. Считая удар неупругим, определите скорость ц.м. полученной системы. Будет ли стержень вращаться и, если да, то с какой угловой скоростью.

3. Квадратная рамка со стороной b = 1 см покоится в системе . Она расположена так, что одна из ее сторон совпадает с осью . Чему будет равна ее площадь для наблюдателя К, если системы отсчета К и движутся друг относительно друга со скоростью V = 0,95 С.

Вариант № 19

1. На катушку намотана нить. Другой конец нити перекинут через невесомый блок и привязан к грузу массы m₁ = 100 г. Катушка может без проскальзывания катиться по горизонтальному столу. Масса катушки m = 50 г, ее момент инерции = 5 10^-6 кг м² , а характерные радиусы R = 2 см и r= = 1 см. Определить ускорение, с которым груз будет падать вниз, если нить от катушки идет параллельно столу, ниже оси катушки.

2. На гладкой горизонтальной поверхности лежит стержень длины = 10 см и массы m = 100 г. В одну из точек стержня абсолютно упруго ударяется шарик массы m₀ = 50 г, движущийся перпендикулярно к стержню. На каком расстоянии Х от середины стержня должен произойти удар, чтобы шарик передал стержню всю свою кинетическую энергию. При каком соотношении масс это возможно.

3. Скорость электрона составляет 0,9 от скорости света. Определите его массу и импульс.

Вариант № 20

1. Катушка, на которую намотана нить, может без проскальзывания катиться по горизонтальному столу. Другой конец нити, идущей параллельно столу (выше оси катушки), переброшен через невесомый блок и прикреплен к грузу массы m₁ = 50 г. Масса катушки m = 50 г, ее момент инерции = 5 10^-6 кг м², а характерные радиусы R = 2 см и r = 1 см. Определите ускорение, с которым груз будет падать вниз.

2. По горизонтальной поверхности без проскальзывания катится обруч (m = 100 г, R = 5 см). Он наезжает на ступеньку высоты h = 1 см. С какой минимальной скоростью V₀ должен двигаться обруч, чтобы преодолеть ступеньку?

3. Скорость электрона составляет 0,9 от скорости света. Чему равна его кинетическая энергия?

Вариант № 21

1. На блок, представляющий собой сплошной цилиндр массы m₁ = 4 кг, намотана гибкая лента. Второй конец ленты обвивает "бочку" с водой. Масса бочки, являющейся тонкостенным цилиндром, m₂ = 2 кг, а масса воды m₃ = =10 кг. Считая, что радиусы сплошного и полого цилиндра равны, определить ускорение с которым бочка будет падать вниз, если трением жидкости о стенки бочки можно пренебречь.

2. "Бочка" с водой (см. условие предыдущей задачи) скатилась без проскальзывания с горки высотой Н = 5 м. Чему будет равна скорость ц.м. бочки в конце пути?

3. Кинетическая энергия электрона рана 0,5 МэВ. Определить его скорость.

Вариант № 22

1. На двух цилиндрических катках радиуса R = 5 см и массой m = 2 кг каждый находится доска массы m₁ = 10 кг. Вся система лежит на наклонной плоскости, составляющей угол = 30⁰ с горизонтом. Найти ускорение, с которым начнет двигаться доска, если она первоначально расположена на катках симметрично. Считать, что скольжение отсутствует.

2. Человек массы m₀ = 80 кг и роста h = 2 м стоит на тележке с большими колесами. Полная масса тележки m₁ = 100 кг, масса каждого из четырех колес m₂ = 20 кг. Колеса представляют из себя диски радиуса R = 0,5 м. Человек прыгает в горизонтальном направлении со скоростью V₀ = 2 м/с относительно Земли. С какой скоростью будет двигаться ц.м. тележки, если она катится без проскальзывания. Ц.м. тележки расположен на уровне осей колес, а человека - на высоте половины его роста. Плоскость платформы тележки - на уровне осей колес.

3. Какую скорость имеет электрон с энергией 100 Мэв.

Вариант № 23

1. На гладкой горизонтальной поверхности лежит доска массы m₁ = =10 кг. На доске находится шар массы m₂ = 5 кг. К доске приложена постоянная горизонтальная сила F = 60 Н. С каким ускорением будут двигаться доска и шар, если шар может катиться по доске без проскальзывания.

2. Линейка массы m₀ = 100 г и длиной = 40 см может свободно вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На концах линейки на вертикальных осях укреплены два диска (R = 10 см, m = 50 г), которые так же без трения могут вращаться вокруг своих осей. Первоначально система неподвижна, а затем линейку раскручивают до угловой скорости = 10 1/с. Затем срабатывает устройство заклинивающее диски в их осях. Определить угловую скорость системы после заклинивания дисков. Какой процент кинетической энергии теряется в результате такого "заклинивания"?

3. Скорость электрона составляет 0,8 от скорости света. Определите его импульс.