4. Контрольные вопросы

А. Вопросы для коллоквиума

1. Дайте определение плотности вероятности случайного процесса, приведите свойства этой характеристики.

2. Сформулируйте определение интегральной функции распределения случайного процесса. Как связаны функции p(x) и F(x)?

3. Какие основные статистические характеристики случайных сигналов вам известны?

4. Назовите и определите числовые (моментные) характеристики случайных сигналов.

5. Дайте определение стационарного случайного процесса.

6. Что такое эргодический случайный процесс?

7. Дайте определение корреляционной функции случайного процесса.

8. Чем отличается корреляционная функция от ковариационной?

9. Как можно определить энергетический спектр случайного процесса? Назовите известные вам способы.

10. О чем идет речь в теореме Винера – Хинчина? Сформулируйте её.

11. Сформулируйте центральную предельную теорему.

Б. Вопросы на защите отчета

4.12 Как изменяется значение интегральной функции распределения F(x) при увеличении х?

4.13. Почему функция F(x) не может быть больше единицы?

4.14. Почему в работе при больших значениях дисперсии интегральная функция не достигает верхнего предельного значения?

4.15. Как влияет на точность графиков плотности и интегральной функции, рассчитываемых в дискретном виде, количество отсчетов реализации?

4.16. Как влияет на точность графиков плотности вероятности и интегральной функции, рассчитываемых в дискретном виде, количество полигонов?

4.17.Что произойдет с графиком плотности вероятности равномерного процесса при уменьшении диапазона вероятных значений случайного сигнала?.

4.18.Могут ли быть ступенчатыми функции p(x) и F(x)?

4. 4.19.Попытайтесь объяснить способ вычисления двумерной плотности вероятности в лабораторной работе. Проведите аналогии с описанным в приложении способом построения одномерной плотности.

4.20.Как связан интервал корреляции с энергетическим спектром случайного процесса?

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение П7.1

Краткие теоретические сведения

Случайные процессы описываются вероятностными, числовыми и другими характеристиками. Так, функция распределения вероятности стационарного случайного процесса Х(t) представляет собой вероятность того, что мгновенные значения сигнала Х(t) не превысят некоторый уровень х:

. (П7.1)

Одномерная плотность распределения вероятности p(х) определяется вероятностью попадания значений сигнала X(t) в интервал х, отнесенной к величине х:

. (П7.2)

Таким образом, по функции р(х) можно найти вероятность попадания значений Х(t) в интервал х :

. (П7.3)

Переходя в (П7.2) от приращений к производной, получим

, (П7.4)

что и определяет название функции р(х) как дифференциального закона.

Интегрирование (П7.4) позволяет получить функцию распределения случайного сигнала

. (П7.5)

Приведем аналитические выражения числовых характеристик стационарного случайного процесса, заданного ансамблем реализаций:

0. момент первого порядка (математическое ожидание)

, (П7.6)

0. момент второго порядка

, (П7.7)

• дисперсия

. (П7.8)

Отсюда

. (П7.9)

Одномерная плотность p(x) не позволяет получить полное описание случайного процесса, т.к. дает его вероятностное представление только в отдельные моменты времени (в одном временном срезе). двумерная плотность вероятности р(x₁, x₂; t₁, t₂) полнее описывает случайный сигнал, поскольку она связывает два значения процесса х₁ и х₂ (два уровня), взятые в двух временных сечениях t₁ и t₂.

Задание двумерной плотности вероятности позволяет определить корреляционную и ковариационную функции сигнала:

, (П7.10)

. (П7.11)

По теореме Винера - Хичина R_x() и W_x() связаны между собой парой преобразований Фурье:

, (П7.12)

. (П7.13)

В работе рассматриваются 4 типа процессов: равномерный, нормальный, релеевский и гармонический со случайной начальной фазой (ГСНФ). Ниже приведены основные характеристики этих процессов.

1. Равномерный:

, (П7.14)

. (П7.15)

2. Нормальный (гауссов) процесс:

, (П7.16)

. (П7.17)

3. Закон распределения Релея:

, (П7.18)

. (П7.19)

4. Гармоническое колебание со случайной начальной фазой (ГСНФ):

, А – амплитуда синусоиды, (П7.20)

. . (П7.21)

Вычисление приведенных характеристик выполняется на ПЭВМ с использованием алгоритмов и аппарата дискретной обработки сигналов.

Рассмотрим некоторые детали программного формирования случайного сигнала Х(t) и получения его характеристик. Генерируемый компьютером случайный процесс (рис. П7.1) представляет собой ансамбль {N} реализаций х_n(t). Каждая реализация в общем случае задается последовательностью {K} независимых случайных чисел, которые превращаются путем интерполяции в континуальную (непрерывную) временную функцию х_n(t).

На экране монитора для знакомства с характером процесса X(t) выводится только 5 реализаций из всего ансамбля. Особенностью данного процесса является отсутствие корреляции (связи) между отсчетами, поэтому К_х() = (). Для получения коррелированных, т.е. в какой-то мере связанных между собой отсчетов сигнала вводится дополнительная обработка каждой n-й реализации (рис. П7.2).

В самом деле, каждый из включенных r отводов, а следовательно, и каждый из этих отсчетов сигнала X_n (t) участвует в формировании выходного отсчета. Таким образом, отсчеты выходного сигнала X_{n вых}(t) становятся зависимыми между собой. Очевидно, число r характеризует степень связи создаваемого СП. Чем больше r, т.е. чем больше используется отводов в линии задержки, тем больше мера зависимости отсчетов. Коэффициент r иногда называют радиусом корреляции.

При компьютерной обработке информации мгновенные значения сигналов X_n(t_к) обычно квантуются (оцифровываются). Величина кванта x определяется диапазоном вероятных значений х (от –х_макс до х _макс) и числом разбиений М, которое, в свою очередь, зависит от разрядности, заданной погрешности и т. п.:

x = 2Х _макс / М.

В таком случае δХ является единицей младшего разряда числа М, т.е. любое число х_i из числового ряда М связано с соседними числами очевидным соотношением

X_i-1 + x = X_i = X_i+1 - x , или X_i-1 +1 = X_i = X_i+1 - 1.

Рассмотрим методику и алгоритмы определения вероятностных характеристик p(x) и F(x) при цифровом представлении случайного процесса. Здесь диапазон значений X_i разбивают на q полигонов (участков) с величиной

.

Найдем вероятность ΔF(x_i) попадания случайной величины, точнее случайного сигнала X(t_к) в сечении t_к в заданный полигон. При Δх = δx = 1 она будет определяться отношением числа реализаций m_xi, оцифрованные значения которых оказались равными X_i, к общему числу N реализаций случайного процесса:

ΔF(x_i) = m_xi / N. (П7.22)

Плотность вероятности

. (П7.23)

В частности, при Δх = δx = 1 плотность p(x) = m_xi / N численно (но не по размерности!) равна ΔF(x_i).

Функцию распределения F(x_i) получим с учетом (П7.5) и (П7.23):

. (П7.24)

Пусть, например, случайный процесс X(t), состоящий из 21 реализации (N = 21) в сечении t = t_к распределился следующим образом:

{1, 0, -2, 3, 0, 1, 2, 0, -1, 1, -2, -1, 0, -3, 0, -1, 1, 2, 0, 1, -1} В

Здесь, при целочисленных значениях массива δx = 1. Если взять Δx = 1, то весь диапазон заданного набора {x_i} с расширением его границ до -4 В и 4 В разбивается на 9 полигонов. Количество одинаковых чисел на соответствующем полигоне m_xi и вычисленные значения p(x_i) и F(x_i) приведены в табл. П7.1.

Таблица П 7.1

xi, B	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
mxi	0	1	2	4	6	5	2	1	0
p(xi), 1/B	0	1/21	2/21	4/21	6/21	5/21	2/21	1/21	0
F(xi)	0	1/21	3/21	7/21	13/21	18/21	20/21	1	1

Графики функций p(x_i), F(x_i) приведены на рис. П7.3 и П7.4.

Рис. П7.3 Рис. П7.4

Если полигоны расширить до x = 2 В, то число их уменьшится до четырех, а функции p(x_i), и F(x_i) получат более "грубое" (более скачкообразное) представление (см. табл. П7.2).

Таблица П.7.2

xi, xi+x; В	-4; -3	-2; -1	0; 1	2; 3
mxi	1	6	11	3
p(xi), 1/B	1/212	6/42	11/42	3/42
F(xi)	2/42	27/42	218/42	1

В данной программе количество исследуемых участков (полигонов) М равно255, а число реализации случайного сигнала N (число отсчетов) может изменяться от 1000 до 100 000 , что достаточно для плавной аппроксимации графика.

Приложение П7.2