Центральное проектирование
Изображения, полученные при параллельном проектировании выглядят несколько нереально, что связано с сохранением параллельности прямых. Человек привык к перспективному изображению предметов. Эффект перспективы заключается в том, что параллельные прямые пересекаются на горизонте (рис.8). Предметы должны становиться меньше по мере их удаления от наблюдателя. Для достижения этого эффекта применяется центральное (перспективное) проектирование.
Для описания перспективного изображения представим себе, что каждая видимая точка на объекте некоторой прямой линией (лучом) соединяется с глазом. При этом глаз видит лишь те предметы, что попадают в так называемый зрительный конус (на рис.8 это ABCDR). Ось этого конуса совпадает с направлением взгляда.
Картинную плоскость мы помещаем перпендикулярно оси зрительного конуса на расстоянии c от глаза. Чтобы построить перспективную проекцию, мы отмечаем точки пересечения лучей с этой плоскостью. Так как лучей бесконечно много, практически эта задача невыполнима. Но можно наносить на плоскость только те точки, что соответствуют важнейшим элементам объекта: вершины, концы отрезков, угловые точки граней и т. д.
Перспективное изображение получится, если мы соединим проекции этих точек таким же образом, как соединяются сами точки на объекте.
Свойства перспективной проекции:
1. Перспективная проекция прямой линии есть прямая линия.
2. Перспективная проекция грани (то есть плоской области, ограниченной замкнутой ломаной линией) есть грань. Если грань ограничена ломаной, состоящей из N сегментов, то и перспективная проекция этой грани будет гранью, ограниченной ломаной из N сегментов.
3. Проекция выпуклой грани есть выпуклая грань.
Предположим для простоты, что центр проектирования лежит на оси Z в точке C(0,0,c), и плоскость проектирования совпадает с координатной плоскостью XY (рис.9). Возьмем в пространстве произвольную точку M(x, y, z), проведем через нее и точку C прямую. Соответствующее параметрические уравнения прямой есть:
x* = x t ; y* = y t ; z* = c + ( z - c ) t (17)
Найдем координаты точки пересечения построенной прямой с плоскостью XY. Из условия z* = 0 найдем значение параметра t:
t = 1 / ( 1 - z / c ) (18)
Тогда
x* = x / ( 1 - z / c ) ; y* = y / ( 1 - z / c ) ; (19)
Заметим, что тот же самый результат можно получить, используя матрицу вида:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 - 1 / c
0 0 0 1
А именно:
1 0 0 0
( x y z 1 ) 0 1 0 0 = ( x y 0 1 - z / c ) (20)
0 0 0 - 1 / c
0 0 0 1
Учитывая свойства однородных координат, разделим все на (1 - z / c):
( x / ( 1 - z / c ) y / ( 1 - z / c ) 0 1 ) (21)
То есть получили те же значения координат x* и y*, что и в формулах (19). Таким образом, вектор (21) - это однородные координаты точки (x у z 1) после выполнения операции перспективного проектирования, заданного матрицей:
1 0 0 0
Q = 0 1 0 0 (22)
0 0 0 - 1 / c
0 0 0 1
Матрица Q соответствует так называемому одноточечному перспективному преобразованию. Более сложные (двухточечные и трехточечные) перспективные преобразования, представленные в классификации на рис.5, здесь не рассматриваются.