Виды проектирования

Так как экран дисплея представляет собой двумерное пространство, мы можем изобразить только проекции трехмерных объектов, а не сами объекты. Задача состоит в том, чтобы определить проекцию каждой точки объекта, расположенного в произвольном месте трехмерного пространства, на некоторую плоскость в этом пространстве, называемую картинной плоскостью.

Изображение объектов на картинной плоскости связано с еще одной геометрической операцией - проектированием с помощью пучка прямых. В компьютерной графике используется несколько видов проектирования. Наиболее часто встречается проектирование центральное (перспективное) и параллельное.

Для получения проекции объекта на картинную плоскость необходимо провести через каждую его точку прямую из заданного проектирующего пучка и затем найти координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью изображения. В случае центрального проектирования все прямые исходят из одной точки - центра пучка (рис. 2). При параллельном проектировании центр пучка считается лежащим в бесконечности (рис. 3).

Каждый из этих двух основных классов разбивается на несколько подклассов в зависимости от взаимного расположения картинной плоскости и координатных осей. Классификация параллельных и центральных (перспективных) проекций приводится на рис.4 и рис.5, соответственно.

Параллельное проектирование

Как видно из рис.4, среди параллельных проекций различают ортографическую, аксонометрическую и косоугольную.

При ортографической проекции картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей (рис.6) или параллельна ей (рис.7). Проектирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости.

Так как проектирование можно рассматривать как вид геометрических преобразований, для его описания в задачах компьютерной графики используются однородные координаты и матрицы четвертого порядка. В частности, для ортографической проекции матрица проектирования вдоль оси X на плоскость YZ имеет вид:

0 0 0 0

Px = 0 1 0 0 (12)

0 0 1 0

0 0 0 1

Если картинная плоскость параллельна координатной плоскости и перенос составляет величину  (рис.7), необходимо умножить матрицу Px на матрицу переноса (8), учитывая при этом, что  = 0 и  = 0.

1 0 0 0 0 0 0 0

Px = Px  0 1 0 0 = 0 1 0 0 (13)

0 0 1 0 0 0 1 0

 0 0 1  0 0 1

Аналогично для матриц проектирования вдоль двух других координатных осей:

1 0 0 0

Py = 0 0 0 0 (14)

0 0 1 0

0  0 1

1 0 0 0

Pz = 0 1 0 0 (15)

0 0 0 0

0 0  1

При аксонометрической проекции проектирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости, а сама картинная плоскость образует с осями координат ненулевые углы. Если все три угла различны между собой - проекция триметрическая; если два угла из трех равны - проекция диметрическая; если равны все три угла - проекция изометрическая. Каждый из трех видов указанных проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проектирование.

Так, например, при повороте на угол  относительно оси ординат (2), на угол  вокруг оси абсцисс (1) и при последующем проектировании вдоль оси аппликат (15) необходимо построить матрицу:

cos  0 - sin  0 1 0 0 0 1 0 0 0

М = 0 1 0 0  0 cos  sin  0  0 1 0 0 (16)

sin  0 cos  0 0 - sin  cos  0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0  1

Проекции, для получения которых используется пучок прямых, не перпендикулярных картинной плоскости, называют косоугольными. Среди них различают свободную проекцию, когда угол наклона проектирующих прямых к картинной плоскости равен половине прямого, и кабинетную проекцию, когда требуется еще, чтобы масштаб по одной из осей был вдвое меньше, чем по двум остальным осям.