2. Метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта более чаще употребляется, чем метод Эйлера, хотя и требует большего объёма вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что даёт возможность проводить счет с большим шагом, т.е. для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге-Кутта.
Геометрически
этот метод для задачи (1),(2) также как и
в методе Эйлера состоит в том, что на
малом отрезке [
]
интегральная кривая
уравнения (1) заменяется прямой, проходящей
через точку
,
однако
в основу положен более тонкий, чем в
методе Эйлера, подход к определению
направления этого отрезка прямой.
Обозначим
через
приближенное
значение искомого решения в точке
.
По методу Рунге-Кутта вычисление
приближенного значения
в следующей
точке
производится
по формулам:
где
(3)
Шаг
расчета можно поменять при переходе от
одной
точки
к другой. Для контроля правильности
выбора шага
рекомендуем
вычислить дробь
Величина
не должна превышать нескольких сотых.
В противном случае шаг
следует уменьшить.
Все вычисления удобно располагать по схеме:
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
+
Порядок заполнения таблицы:
1)
Записываем в первой строке таблицы
данные значения
.
2)
Вычисляем
умножаем на
и
заносим в таблицу в качестве
.
3)
Записываем во второй строке таблицы
.
4)
Вычисляем
,
умножаем на
и
заносим в таблицу в качестве
.
5)
Записываем в третьей строке таблицы
.
6)
Вычисляем
,
умножаем на
,
заносим
в таблицу в
качестве
.
7)
Записываем в четвертой строке таблицы
.
8)
Вычисляем
,
умножаем на
и
заносим в таблицу в качестве
.
9) В
столбец
записываем
.
10)
Суммируем числа, стоящие в столбце
,
делим на 6 и заносим в таблицу в качестве
.
11)
Вычисляем
.
Затем
все вычисления продолжают в том же
порядке, принимая за начальную точку
.
Содержание ргр "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений"
Студенту предлагается выполнить следующую работу:
1 . Точное решение дифференциального уравнения.
2. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера.
3. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.
Варианты и образец выполнения РГР приведены ниже.
Варианты
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.