2. Взаимное расположение двух прямых

Во многих задачах, связанных с прямыми в пространстве, необходимо выяснить взаимное расположение двух прямых. Это удобно осуществлять используя направляющие векторы прямых. Если направляющие векторы и прямых L и L коллинеарны, то прямые L и L совпадают или параллельны. Далее наличие или отсутствие общей точки у прямых L и L покажет, совпадают они или параллельны. Если же направляющие векторы и неколлинеарны, то это равносильно тому, что прямые L и L пересекаются или скрещиваются. В первом случае прямые L и L имеют одну общую точку, а во втором случае общих точек они не имеют. В ситуациях, когда прямые параллельны или скрещиваются, можно говорить о расстоянии между этими прямыми. Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми L и L называется наименьшее из расстояний между различными точками и .

Рассмотрим также проблему взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Для того, чтобы выяснить взаимное расположение прямой L и плоскости П, проще всего воспользоваться направляющим вектором прямой L и нормальным вектором плоскости П. Если векторы и не ортогональны, то это равносильно тому, что L и П пересекаются в единственной точке. Если же векторы и ортогональны, то это равносильно тому, что прямая L параллельна плоскости П или лежит в ней.

1. Пример. Заданы прямые:

L₁:  и L₂: .

При каком значении a они пересекаются?

Решение. Обозначим через и направляющие векторы прямых L и L; , . Прямые L и L пересекаются тогда и только тогда, когда векторы и неколлинеарны, а векторы , , компланарны, где − точка прямой L, − точка прямой L. Возьмем , (рисунок 9). Ясно, что векторы и неколлинеарны, т.к. . Находим координаты вектора Вычисляем смешанное произведение векторов , , :

Для компланарности векторов , , необходимо и достаточно, чтобы , т.е. Итак, при прямые L и L пересекаются. При других значениях прямые L и L не пересекаются и не параллельны, т.е. скрещиваются.

2. Пример. Заданы две прямые:

L₁:  и L₂: .

Доказать, что прямые L и L скрещиваются, и найти расстояние между ними.

Решение. Выпишем направляющие векторы прямых L и L: =(1,2,3), =(1,−1,1). Векторы и неколлинеарны, поэтому и пересекаются или скрещиваются. Покажем, что пересечения нет. Для этого достаточно показать, что и не лежат в одной плоскости. С этой целью построим плоскость П, проходящую через L и параллельную прямой L (рисунок 10). Плоскость П поможет нам в нахождении расстояния между и . Выберем произвольно две точки на прямых и , например A(1,2,3)L; A(1, −1, −4)L. Искомая плоскость П проходит через точку A параллельно векторам и , поэтому её уравнение имеет вид:

Отсюда получаем П: 5x+2y−3z−15=0. Очевидно, что AП, поэтому LП, значит прямые L и L скрещиваются. Искомое расстояние между L и L равно расстоянию от A до плоскости П (см. рисунок 10). Расстояние d от точки А до плоскости П вычисляем по следующей формуле:

, где

Получаем

.