2. Упражнения

   1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

   2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

   3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и перпендикулярной плоскости .

   4. Найти расстояние от точки до плоскостей:

1) 2; 2) .

5. Исследовать взаимное расположение плоскостей. В случае, если плоскости П₁ и П₂ пересекаются, найти угол между ними.

1) ; ;

2) ; ;

3) 2; ;

4) 2; .

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости Оyz.

7. Построить плоскости:

1) ; 3) ;

2); 4).

1. Через ось Oz провести плоскость, составляющую с плоскостью угол .

1. Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 2, §2–3], [2, гл. 5, §5.2, 5.3, 5.10, 5.11], [3, гл. 1, §1.5].

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и В(5,−3, −2) и перпендикулярной плоскости .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно линии пересечения плоскостей и .

3. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

; .

4. Построить плоскости:

1) ; 2).

6. Прямая в пространстве

Цель занятия: усвоение способов задания прямой в пространстве, выработка навыков построения уравнений прямых, овладение способами исследования взаимного расположения прямых.

1. Основные способы задания прямой в пространстве

Считаем, что в пространстве задана ортонормированная система координат . Координаты произвольной точки M обозначаем, как правило, x,y,z, и пишем M(x,y,z). Вектор , параллельный прямой L, называют направляющим вектором этой прямой. Перечислим основные способы задания прямых в пространстве.

1. Прямая L определяется как линия пересечения плоскостей и . Её уравнения имеют вид:

(25)

Уравнения (25) называют общими уравнениями прямой L.

2. Прямая L определяется одной своей точкой и направляющим вектором . Её уравнение имеет вид:

(26)

Уравнения (26) называют каноническими уравнениями прямой L.

3. Прямая L определяется одной своей точкой и направляющим вектором . Она может быть задана параметрическими уравнениями вида:

(27)

где t – параметр,

4. Прямая определяется двумя своими точками и , . Она может быть задана уравнениями следующего вида:

(28)

5. Пример. Записать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно оси Ox.

Решение. По условию искомая прямая L параллельна оси Ox, поэтому вектор , расположенный на оси Ox, можно считать направляющим вектором прямой L. Согласно (26) получаем канонические уравнения прямой L:

Заметим, что нули в знаменателях дробей в канонических уравнениях означают только то, что и Согласно (27) получаем параметрические уравнения прямой L:

6. Пример. Прямая задана общими уравнениями:

Записать канонические уравнения этой прямой.

Решение. Для того, чтобы записать канонические уравнения прямой L, требуется найти какую-либо точку на ней и её направляющий вектор или найти две различные точки этой прямой. Выберем точку на прямой L. Полагаем z=0 в общих уравнениях прямой. Получаем систему уравнений:

откуда x=3, y=2.

Итак, точка принадлежит L. Направляющий вектор прямой L должен быть перпендикулярен обоим нормальным векторам и плоскостей и . Значит, в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение , т.е.

Согласно (26) записываем канонические уравнения L: