3. Упражнения

   1. Даны векторы , , . Найти координаты следующих векторов:

1) ×; 2) ; 3) ×(); 4) (×).

2. Найти , если известны , , :

1) , , ; 2) , , .

3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах.

4. Найти площадь треугольника ABC, если:

1) , , ; 2) , , .

5. Найти длину высоты треугольника ABC, если:

1) , , ; 2) , , .

6. Проверить; что векторы , коллинеарны, если векторы , , , связаны соотношениями ×=×, ×=×.

7. Упростить выражения:

1) (+)×+(+)×+(+)×;

2) (+–)×–(+–)×+(+–)×.

8. Решить уравнение ×=, где , .

9. Три силы , , приложены в точке . Определить момент равнодействующей этих сил относительно точки .

10. Векторы , , образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и , , . Вычислить (× ).

11. Пусть , , – произвольные векторы. Доказать, что:

1) ((+)×(+))(–)=0; 2) ((–+)×(+))=2.

12. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , как на сторонах. Установить, какую тройку образуют векторы , , .

13. Используя условие компланарности векторов, проверить, лежат ли следующие точки А, В, С, D в одной плоскости:

1) , , , ;

2) , , , .

14. Вычислить объем пирамиды, вершинами которой являются точки , , , .

15. В пирамиде с вершинами А, В, С, D найти длину высоты, проведенной из вершины D к грани ABС:

1) , , , ;

2) , , , .

4. Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §3], [2, гл. 2, §2.13–2.17], [3, гл. 1, §1.13].

1. Показать, что четырехугольник АВСD есть параллелограмм, и найти его площадь, если , , , .

2. Определить площадь с вершинами в точках , , .

3. Упростить выражение (++)×(+–).

4. Решить уравнение ×=, если известны , и первая координата вектора равна 0.

5. Найти значение выражения , где – правый ортонормированный базис.

6. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.

7. Вычислить объем пирамиды, вершинами которой являются точки , , , .

1. Прямая на плоскости

Цель занятия: усвоение способов задания прямой на плоскости, выработка навыков решения задач, связанных с прямыми на плоскости.

1. Основные способы задания прямых на плоскости

Считаем, что на плоскости задана ортонормированная система координат . Координаты произвольной точки обозначаем . Основополагающий результат о задании прямой на плоскости заключается в следующем.

1. Теорема. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида

. (12)

Наоборот, любое уравнение вида (12) задает на плоскости некоторую прямую.

Заметим, что вектор ортогонален прямой (12) и называется нормальным. Уравнение (12) называют общим уравнением прямой. Различные модификации уравнения (12) связаны с различными способами задания прямых. Для успешного решения задач о прямых на плоскости необходимо усвоить следующие основные способы задания прямых.

2. Прямая определяется одной своей точкой и нормальным вектором . Её уравнение имеет вид:

. (13)

3. Прямая определяется двумя своими точками и . Её уравнение имеет вид:

или . (14)

Число во втором выражении (14) называется угловым коэффициентом прямой . Известно, что , где – угол между прямой и осью (или между и вектором ).

4. Прямая определяется одной своей точкой и угловым коэффициентом . Её уравнение имеет вид:

. (15)

5. Прямая определяется одной своей точкой и вектором , параллельным . Её уравнение имеет вид:

. (16)

Вектор называется направляющим вектором прямой , а равенство (16) называют каноническим уравнением прямой L.

6. Если известна точка прямой и её направляющий вектор, то она может быть задана параметрическими уравнениями:

(17)

где параметр, .

Пусть заданы две прямые :  и : . Возможны следующие случаи взаимного расположения этих прямых:

1) они совпадают, если ;

2) они параллельны, если ;

3) они пересекаются, если .

Угол между прямыми и удобнее всего находить как угол между их направляющими векторами. Если же известны угловые коэффициенты и прямых и, то угол между ними можно найти по формуле

. (18)

7. Пример. Даны две вершины , треугольника и точка пересечения его высот (рисунок 6). Найти: уравнения сторон , СА и СВ, внутренний угол при вершине С, координаты точки С.

Решение.

1 Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки (см. формулу (13)), получим уравнение стороны :

или .

Далее, так как , а , то запишем уравнения сторон СА и СВ в виде (13), где нормальный вектор к прямой, а фиксированная точка на ней. Учитывая, что и имеем

, ();

, ().

2 Угол при вершине С есть угол между сторонами и , который можно определить воспользовавшись выражением (18). Для этого запишем уравнения этих сторон в виде (15), т.е.:

;

.

В этом случае согласно формуле (15) имеем , и в соответствии с (18) имеем или .

3 Для нахождения координат точки С составляем систему уравнений

Решая ее, получаем .

8. Пример. Задана прямая . Найти расстояние от точки до данной прямой.

Решение. Прежде всего проверим принадлежит ли точка данной прямой . Имеем , значит . Для нахождения расстояния от до воспользуемся скалярным произведением векторов. На прямой выберем произвольно точку , например . Тогда расстояние от до есть длина отрезка , .

Длину отрезка выразим с помощью скалярного произведения вектора и нормального вектора прямой (рисунок 7). Имеем

, т.е. . (19)

В соответствии с формулой (19) получаем

.

Указанный способ нахождения расстояний применим и в случае плоскости, и в случае прямой в пространстве. В этом смысле он универсален, и мы рекомендуем применять его во всех аналогичных ситуациях.