2. Скалярное произведение векторов

   1. Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое или , равное , – угол между и . Итак,

, . (5)

Основные свойства скалярного произведения:

1) =; 3) ; 5) =0.

2) ==; 4) =+;

Если векторы и заданы в ортонормированном базисе , то можно записать скалярное произведение с помощью координат этих векторов:

. (6)

Угол между векторами:

. (7)

2. Определение. Проекцией вектора на вектор называется число

, (). (8)

С учетом (7) данную формулу можно записать в виде

Числа

; ; ;

называются направляющими косинусами вектора .

Приложения скалярного произведения в механике и физике связаны с понятием работы постоянной силы. Если материальная точка, на которую действует сила , переместилась из положения в положение , то работа равна скалярному произведению .

3. Пример. Найти скалярное произведение (3–2)(5– 6), если .

Решение. Согласно свойствам (1–4), (3–2)(5–6)=15– –10+12=15 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

4. Пример. Найти угол между векторами = (3, 4, 5), = (4, –5, 3).

Решение. По формуле (7) получаем

5. Пример. Доказать, что векторы = (1,2,3), = (8, –1, –2) перпендикулярны.

Решение. По формуле (6) находим: . Следовательно, по свойству (5) векторы и перпендикулярны.

3. Упражнения

   1. Найти координаты линейной комбинации векторов и , если

1) , , ;

2) , , .

2. Векторы и лежат в одной плоскости, известны их координаты в некотором базисе этой плоскости. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

1) , , ;

2) , , .

3. Даны векторы , , . Показать, что векторы образуют базис на плоскости. Найти координаты вектора в «старом» базисе , если

1) , ; 2) , .

4. Векторы , заданы своими координатами в некотором базисе пространства. Показать, что векторы образуют базис пространства, и найти координаты вектора в базисе .

1) , , , ;

2) , , , .