3. Упражнения

   1. Построить векторы + и – , если:

2. Проверить геометрически справедливость следующих равенств:

1) (+ )+(– )=2; 3) + = (+)/2;

2) (+ )– (– )=2; 4) (– )/2+ = (+)/2.

3. Найти условия, которым должны удовлетворять векторы и , если:

1) ; 2) ; 3) .

4. Пусть – произвольный треугольник, К, L, М – середины сторон , , соответственно, – точка пересечения медиан этого треугольника. Доказать, что

1) =+; 3) ++=;

2) ++=; 4) ++=.

1. Дан параллелограмм . Пусть =, =. Выразить векторы , , , через векторы , .

2. Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы один из них нулевой.

3. Доказать, что если некоторое непустое подмножество векторов из множества , , …, линейно зависимо, то и все векторы в целом линейно зависимы.

4. Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если среди них есть хотя бы два противоположных вектора.

5. Доказать, что если векторы , , …, линейно независимы, то любое непустое подмножество из них также линейно независимо.

1. Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §1], [2, гл. 2, §§2.1–2.4], [3, гл. I, §1.3].

1. Выбрать два произвольных неколлинеарных вектора , и построить вектор , где

1) =1, =1; 2) = –1, =1; 3) = –1, = –1; 4) = –, =3.

2. Пусть – параллелограмм, – точка пересечения его диагоналей АС и BD. Доказать, что

1) =; 3) +=;

2) −+=; 4) –=;

5) коллинеарен , где =2–3, =–.

3. Пусть – произвольный четырехугольник, и – середины сторон AB и CD соответственно. Доказать, что .

4. Пусть – треугольник, М - точка пересечения его медиан, О – произвольная точка, =, =, =. Выразить вектор через векторы , , .

5. Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы два на них равны.

2. Базисы и координаты векторов. Скалярное произведение векторов

Цель занятия: усвоение понятий базиса и координат векторов, выработка навыков нахождения координат векторов в произвольном базисе, усвоение понятия скалярного произведения и выработка умений использования этого понятия.

1. Базисы и координаты векторов

   1. Определение. Два любых линейно независимых вектора некоторой плоскости называются базисом этой плоскости. Три любых линейно независимых вектора называют базисом пространства.

В пространстве нужно различать правые и левые базисы. Базис называется правым (левым), если при наблюдении с конца вектора вращение вектора по кратчайшему пути к вектору происходит против часовой стрелки (по часовой стрелке).

На рисунке 4,а изображен левый базис (вектор направлен от наблюдателя), а рисунке 4,б изображен правый базис (вектор направлен от наблюдателя). Если векторы , , попарно ортогональны, то базис называется прямоугольным. Прямоугольный базис называется ортонормированным, если все векторы этого базиса имеют единичную длину. Обычно ортонормированный базис обозначается . Аналогично на плоскости. Если к базису на плоскости (в пространстве) добавить точку (начало отсчета), то возникает система координат на плоскости (в пространстве). Введенные для базисов понятия автоматически переносятся на системы координат.

2. Теорема. Пусть – произвольный базис в пространстве. Тогда для любого вектора пространства имеет место разложение

. (2)

Разложение (2) единственно.

Аналогичное разложение имеет место для любого вектора некоторой плоскости относительно любого базиса этой плоскости. Далее формулируем результаты для векторов в пространстве; соответствующие результаты для плоскости очевидны.

3. Определение. Коэффициенты , , в разложении (2) называют координатами вектора в базисе и пишут . Координатами точки M в системе координат называют координаты вектора в базисе .

4. Теорема. Координаты вектора, являющегося линейной комбинацией других векторов, равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Важным является вопрос о связи координат вектора в различных базисах. Пусть в пространстве заданы два базиса и причем

(3)

Если известны координаты , , вектора в «новом» базисе , то координаты , , этого вектора в «старом» базисе можно найти по формулам:

(4)

Более того, можно решить и обратную задачу. Если известны координаты , , вектора в базисе , то координаты , , этого вектора в «новом» базисе можно найти, решая систему линейных уравнений (4).

5. Пример. Даны векторы , , , . Доказать, что векторы образуют базис в пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Убедимся, что векторы линейно независимы, т.е. векторное равенство возможно лишь при . Действительно, в соответствии с теоремой (п.2.1.4) имеем:

Данная система имеет тривиальное решение (), если ее определитель

отличен от нуля. Убеждаемся, что . Таким образом, тройка векторов линейно независима и образует базис. Нам известны координаты вектора в некотором «старом» базисе . Для того, чтобы найти координаты вектора , в «новом» базисе , составим систему уравнений вида (4) и решим её. В этой системе координаты векторов располагаются по столбцам:

Вычисляем , , по формулам Крамера. Определитель данной системы уже найден: . Имеем далее

; ; .

Отсюда , , , т.е. в базисе .