-
Линейные операции над векторами
В
ектором
(свободным) называют совокупность всех
одинаково направленных отрезков, имеющих
одинаковую длину. Пусть
– направленный отрезок с началом в
точке А и концом в точке В (рисунок
1). Этот отрезок
однозначно определяет некоторый вектор
.
В дальнейшем вектор
и направленный отрезок
будут отождествляться, а использоваться
будет тот из них,
который в данном случае удобнее.
Итак
.
Длина вектора
есть длина соответствующего отрезка
и обозначается
.
-
Определение. Векторы
и
называются коллинеарными, если
соответствующие им направленные
отрезки параллельны. Векторы
,
,
называются компланарными, если
соответствующие им направленные
отрезки параллельны одной плоскости.
Два
вектора
и
равны, если они коллинеарны, одинаково
направлены и равны по длине. Пишут
=
.
-
О
пределение.
Суммой векторов
и
называется вектор, обозначаемый
+
и равный
(рисунок 2).
Итак,
+
=
(правило треугольника).
При решении задач полезно использовать свойства суммы векторов.
-
+
=
+
,
,
. -
+ (
+
)
= (
+
)+
,
,
,
. -
Существует единственный нулевой вектор
,
имеющий нулевую длину и такой, что
,
. -
Для любого вектора
существует единственный противоположный
вектор (–
)
такой, что
. -
Определение. Произведением вектора
на действительное число
называется вектор
(или
),
длина которого равна
,
а направление совпадает с направлением
,
если
>0,
и противоположно
,
если
<0.
Перечислим свойства произведения вектора на число, которые постоянно используются при решении задач:
|
1)
|
3)
|
5)
|
|
2)
|
4)
|
для
любых
|
;
;
;
;
;
.-
П
ример.
Пусть задан параллелограмм
,
– точка пересечения его диагоналей
(рисунок 3). Доказать, что
1)
+
=
;
3)
+
=
.
2)
+
+
=
;
Решение.
1
Известно, что диагонали параллелограмма
в точке пересечения делятся пополам.
Значит,
=
.
Поскольку векторы
и
противоположно направлены, то
=−
,
т.е.
+
=
.
2 По определению суммы
векторов
+
=
.
С другой стороны
=−
,
поэтому
+
+
=
.
3 На векторах
и
,
как на сторонах, построим параллелограмм
(см. рисунок 3). Тогда
=
,
+
=
+
=
.
Обратимся к четырехугольнику
.
Это параллелограмм, т.к.
,
и поэтому
=
.
Теперь очевидно, что
+
=
.
-
Линейная зависимость и независимость векторов
-
Определение. Векторы
,
,
…,
называются линейно зависимыми, если
существуют числа
,
,
…,
,
не равные одновременно нулю, для
которых выполняется равенство
-
+
+
… +
=
. (1)
Если
же равенство (1) выполняется только для
,
, …, 
,
то векторы
,
,
…,
называются линейно независимыми.
Основной признак, которым полезно пользоваться при установлении линейной зависимости (независимости) векторов, заключается в следующем.
-
Теорема. Векторы
,
,
…,
линейно зависимы тогда и только тогда,
когда один из них является линейной
комбинацией остальных. -
Пример. Пусть
и
– ненулевые векторы. Тогда следующие
условия равносильны.
Векторы
и
линейно зависимы.
.
.
Доказательство проведем
по схеме
.
.
Если
и
линейно зависимы, то существуют числа
и
,
такие, что
.
Так как
и
– ненулевые векторы, то в этом равенстве
и
и из него получим
,
где
.
.
Из равенства
и условия
следует, что
.
.
Пусть
.
Умножим вектор
на число
,
если
и
одинаково направлены, и на
,
если
и
направлены противоположно. Тогда векторы
и
,
имеющие одинаковые длины, равны, т.е.
,
что означает линейную зависимость
векторов
и
.
Таким образом, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы. То же самое можно сказать о любых трех компланарных векторах.