- •Раздел первый статика твердого тела
- •1. Основные понятия статики
- •1.1. Введение
- •1.2 Аксиомы статики.
- •1.3. Несвободное твёрдое тело
- •2. Плоская система сил
- •2.1. Система сходящихся сил
- •2.2. Произвольная плоская система сил
- •3. Пространственная система сил.
- •3.1. Системы сходящихся сил.
- •3.2. Произвольная пространственная система сил.
- •Центр тяжести.
- •Раздел второй кинематика.
- •1. Введение
- •2. Движение точки.
- •2.1. Способ задания движения.
- •2.2. Скорость точки.
- •2.3. Ускорение точки.
- •3. Простейшие движения твердого тела.
- •Поступательное движение тела.
- •Вращательное движение твердого тела.
- •Уравнения равномерного вращения тела
- •Уравнения равнопеременного вращения тела
- •Сложное движение точки.
- •4.1. Основные понятия.
- •Сложение скоростей.
- •4.3. Сложение ускорений. Теорема Кориолиса.
- •Плоское движение твердого тела.
- •5.1. Введение
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении.
- •5.3. Мгновенный центр скоростей (мцс)
- •Определение скорости точки плоской фигуры с помощью мцс
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении.
- •5.5. Мгновенный центр ускорений (мцу)
- •Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении.
- •6. Сложное движение твердого тела.
- •6.1. Сложение поступательных движений.
- •6.2. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей.
- •6.3. Пара вращений.
- •6.4. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.
- •6.5. Сложение поступательного и вращательного движений.
- •1.2. Законы динамики.
- •1.3. Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки.
- •2. Дифференциальные уравнения движения точки и их интегрирование.
- •2.1. Прямолинейное движение точки.
- •2.2. Криволинейное движение точки.
- •3. Общие теоремы динамики точки.
- •3.1. Количество движения и кинетическая энергия точки.
- •3.2. Импульс силы.
- •3.3. Теорема об изменении количества движения точки.
- •3.4. Работа силы. Мощность.
- •3.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
- •3.6. Теорема об изменении момента количества движения (теорема моментов).
- •4. Прямолинейные колебания точки
- •4.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления.
- •4.2. Свободные колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости (затухающие колебания)
- •4.3. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •1.2. Масса системы. Центр масс.
- •2. Теорема о движении центра масс системы.
- •2.1. Дифференциальные уравнения движения системы.
- •2.2. Теорема о движении центра масс.
- •2.3. Закон сохранения движения центра масс.
- •3. Теорема об изменении количества движения системы.
- •3.1. Количество движения системы.
- •3.2. Теорема об изменении количества движения.
- •3.3. Закон сохранения количества движения.
- •4. Теорема об изменении момента количества движения системы.
- •4.1. Момент инерции тела относительно оси.
- •4.2. Главный момент количества движения системы.
- •4.3. Теорема об изменении главного момента количества движения системы (теорема моментов).
- •4.4. Закон сохранения главного момента количества движения.
- •5. Теорема об изменении кинетической энергии системы.
- •5.1. Кинетическая энергия системы.
- •5.2. Некоторые случаи вычисления работы.
- •5.3. Теорема об изменении кинетической энергии системы.
- •5.4.Потенциальное силовое поле и силовая функция.
- •5.5. Потенциальная энергия
- •5.6.Закон сохранения механической энергии
- •Оглавление
3.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
Рассмотрим точку массой m, перемещающуюся под действием приложенных к ней сил из положения М0, где она имела скорость V0 в положение М1, где ее скорость V1.
Основной закон динамики
.
Проектируем обе части равенства на касательную к траектории точки М, направленную в сторону движения получим:
.
Ускорение представим в виде
.
В результате имеем:
.
Умножим обе части этого равенства на dS, внесем m под знак дифференциала.
Тогда замечая, что , где - элементарная работа силы , получаем выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:
(26)
Проинтегрировав обе части этого равенства в пределах соответствующих значений переменных в точках М0 и М1 получим
(27)
Уравнение (27) выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменении кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
3.6. Теорема об изменении момента количества движения (теорема моментов).
Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора (m) оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Момент вектора m относительно данного центра О или оси z обозначается и и называется моментом количества движения или кинетическим моментом точки относительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора m так же, как и момент силы. При этом вектор m считается приложенным к движущей точке. По модулю , где h – длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора m.
Рис. 3.6
Теорема моментов относительно оси.
Рассмотрим материальную точку массы m, движущуюся под действием силы . Найдем для нее зависимость между моментами векторов m и относительно какой-либо неподвижной оси z. По полученным ранее формулам (статика)
(*)
Аналогично и для момента , если вынести m за скобку
.
Беря от обеих частей этого равенства производные по времени, находим:
.
В первой части первая скобка равна 0, так как .
Вторая скобка согласно формуле (*) равна , так как по основному закону динамики .
Окончательно имеем
(28)
Полученное уравнение выражает теорему моментов относительно оси: производная по времени от момента количества движения точки относительно какой-нибудь оси равна моменту действующей силы относительно той же оси.
Из уравнения (28) следует, если , то .
Теорема моментов относительно центра.
Ранее было показано, что
Аналогично
.
При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор , а вектор - перпендикулярен плоскости, проходящей через центр О и вектор .
Дифференцируем выражение по времени:
,
но , как вектор производной двух параллельных векторов, . Следовательно
или
(29)
Теорема моментов.
Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-либо неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.