- •Содержание
- •Введение
- •Часть 1. Элементы теории множеств и отношений § 1. Понятие множества. Операции над множествами
- •Примеры
- •Операции над множествами
- •Основные тождества алгебры множеств
- •Упражнения
- •§ 2. Декартово произведение двух или нескольких множеств. Понятие отношения. Бинарные отношения
- •Упражнения
- •§ 3. Специальные бинарные отношения. Отношения эквивалентности
- •Упражнения
- •§ 4. Отношения порядка
- •Упражнения
- •§ 5. Функциональные отношения (отображения). Виды отображений
- •Виды отображений:
- •Упражнения
- •Часть 2. Теория графов
- •§ 1. Основные понятия теории графов
- •Способы задания графов. Матричное задание графов.
- •Свойства матриц смежности и инцидентности
- •Упражнения
- •§ Б 2. Булевы матрицы
- •Дизъюнкция (конъюкция)
- •§ 3. Связность графа. Компоненты связности. Матрица связности
- •Выделение компонент связности
- •Алгоритм выделения компонент сильной связности
- •Упражнения
- •§ 4. Полные графы. Двудольные графы. Однородные и реберные графы
- •Упражнения
- •§ 5. Поиск путей (маршрутов) с минимальным числом дуг (ребер)
- •Упражнения
- •§ 6. Расстояние в графах
- •Упражнения
- •§ 7. Нагруженные графы. Расстояния в нагруженном графе
- •Нахождение минимального пути в нагруженном орграфе
- •Алгоритм Форда-Беллмана нахождения минимального пути в нагруженном орграфе из v1 в vi1 (i1≠1)
- •Упражнения
- •§ 8. Эйлеровы цепи и циклы в графах. Эйлеровы графы. Гамильтоновы цепи и циклы в графах. Гамильтоновы графы
- •Упражнения
- •§ 9. Деревья. Остов графа. Цикловой базис графа
- •Алгоритм нахождения кратчайшего остова в нагруженном графе
- •Упражнения
- •§ 10. Раскраска графов. Планарные графы Раскраска вершин графа
- •Одноцветные классы образуют независимые множества вершин.
- •Существуют и приближенные алгоритмы раскрашивания:
- •Упражнения
- •Варианты контрольных работ Часть 1. Элементы теории множеств и отношений Вариант № 1.
- •Вариант № 2.
- •Вариант № 3.
- •Вариант № 4.
- •Вариант № 5.
- •Вариант № 6.
- •Часть 2. Теория графов Вариант № 1.
- •Вариант № 2.
- •Вариант № 3.
- •Вариант № 4.
- •Вариант № 5.
- •Вариант № 6.
- •Ответы Часть 1
- •Часть 2
- •Тест по теории множеств и отношений
- •Тест по теории графов
- •Библиографический список
- •Любовь Васильевна Архипова Елена Сергеевна Дернович
- •Дискретная математика
Часть 2
§1
1.1. а) неорграф, псевдограф;
б) (v1)=3; (v5)=4;
в) 2;0;
г) (v1,v3),(v2,v3);
ж) v6, v5.
1.2 а)
б)
в)
1.3. +(v1)=2, +(v4)=1, -(v3)=2.
1.4. а) нет контуров;
б) есть контуры;
в) есть контуры;
1.6. количество путей длины 1 из v3 в v2 равно 0;из v2 в v4 равно 0;
количество путей длины 2 из v3 в v2 равно 3; из v2 в v4 равно 6;
количество путей длины 3 из v3 в v2 равно 6;из v2 в v4 равно 12;
орграф имеет контур.
1.7. количество путей длины 2 из v1 в v2 равно 2;
количество путей длины 3 из v1 в v2 равно 2;
количество путей длины 4 из v1 в v2 равно 2.
§3
а) несвязный, k=2.
б) не является сильно связным, слабо связным, односторонне связный. р=3.
в) связный, к=1.
-
а) б) в)
3.3. а)р=3 Д1: . v2 Д2: v4
Д3:
б) р=3 Д1: Д2: v3
Д3:
v5
§ 4.
4.1. Для графа K6: m = 15, (vi) = 5;
для графа K7: m = 21, (vi) = 6;
для графа K8: m = 28, (vi) = 7.
4.2. 24; 15; 6.
4.3. 4; 12; 32; 80
4.4. 0.
4.5. 10.
4.7. n = 21, m = 210
4.10. m = 8
§ 5
5.1. a) v1 v4 v3 v2 v7; v1 v4 v5 v2 v7;
v1 v6 v3 v2 v7; v1 v6 v5 v2 v7; v2 v5.
б) v1 v5 v3 v2 v7; v1 v5 v4 v2 v7;
v1 v6 v3 v2 v7; v1 v6 v4 v2 v7; v2 v5.
§ 6
6.1. а) d=2; r=1;
б) d=3; r=2;
в) d=2; r=1.
6.2. а) d=r=1;
б) d=r=2;
в) d=r=3.
6.3. а) d=3; r=2;
б) d=5; r=3.
§ 7
7.1. а) б)
§ 8.
8.1. а) имеется эйлерова цепь;
б) имеется эйлеров цикл;
в) имеется эйлеров цикл.
8.5. Сможет
8.6. В 19 комнате
§9
9.1. а) d = 4, r = 2
б) d = 5, r = 2
в) d = 3, r = 1
г) d = 4, r = 2
9.2. n!
9.3. 14 способами
наименьшая длина пути равна 2
наибольшая длина пути равна 7
9.4. в позицию 2
9.9. а) 6; б) 2
9.10. а)
9.11. а) 8
б) 5
в) 4
§10
10.1. а) 6; б) 2; в) 2; г) 2
10.3. 3
Тест по теории множеств и отношений
1. Подмножество обозначается:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . |
2. Операция «+» в теории множеств называется
а) суммой; |
в) симметрической разностью; |
б) сложением по модулю 2; |
г) объединением. |
3. Отображение f: АВ называется ____________, если оно инъективно и сюръективно
а) симметричным; б) биективным; |
в) унарным; г) несимметричным. |
4. Всякое отношение эквивалентности ρ, заданное на множестве А, определяет на этом множестве
а) разбиение; |
б) порядок; |
в) элемент; |
г) структуру. |
5. Отношение (а,в)| (в,а)ρ называется:
а) тождественным; б) универсальным отношением; |
в) дополнением; г) инверсией. |
6. Разбиением множества 1,2,3 является
а) {1}, {1, 2}, {3}; |
б) 1, 2,3; |
в) 1,2, 2,3; |
г) 1,2,3, 2,3; |
7. Бинарное отношение ρ, заданное на множестве А, для которого выполняется условие: если (х,у)ρ (у,х)ρ, называется
а) симметричным; б) транзитивным |
в) антисимметричным; г) несимметричным |
8. Множество Rρ=в | вВ а (а,в) ρ называется
а) областью значений; б) бинарным отношением; |
в) композицией; г) областью определения. |
9.Отношение частичного порядка на множестве А, для которого любые два элемента сравнимы, называется
а) квазипорядком; б) строгим порядком; |
в) линейным порядком; г) нестрогим порядком. |
10. Отношение IА=(а,а) | аА называется
а) универсальным; б) тождественным; |
в) дополнением; г) обратным; |
11. Из отношений f1=(4, 5), (5, 6), (6, 5), f2=(4, 5), (4, 6), (5, 6), f3=(4, 6), (5, 6), (6, 4) функциями являются
а) f2, f3; |
б) f1, f2, f3; |
в) f1, f2; |
г) f1, f3. |
12. Собственное подмножество обозначается символом
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
13. Множество [х]ρ=у | уА и (х,у)ρ называется:
а) бинарным отношением; б) классом эквивалентности; |
в) областью определения; г) областью значений. |
14. Декартово произведение множеств обозначается:
а) АВ; |
б) АВ; |
в) АВ; |
г) А*В; |
15. Даны множества А=1, 1, 0, 2, В=1, 0, 2, С=1, 0, 0, 2, D=1, 1, 0, 0, 2, Е= 1, 1,0 ,2 ,2.
16. Равными являются множества
а) А, D; |
б) А, С, Е; |
в) А, D, Е; |
г) А, В, D, Е. |