4. Криволінійна регресія. Визначення параметрів рівняння зв’язку

Якщо криволінійна залежність має форму параболи другого порядку, зв’язок виражають таким рівнянням:

,

де y_x –теоретичні значення результативної ознаки;

a₀, a_1, a₂ – параметри рівняння;

x – значення факторної ознаки.

Параметри a₀, a_1, a₂ визначають складанням і розв’язуванням системи трьох рівнянь:

Щоб спростити розв’язання рівнянь, замість значень х введемо відхилення від середньої (). Тоді рівняння матимуть вигляд:

Оскільки і дорівнюють нулю, то після відповідних спрощень дістанемо:

Порядок визначення параметрів рівняння розглянемо на прикладі таблиці 1.10.2.

Таблиця 1.10.2. Вихідні і розрахункові дані для кореляційного аналізу залежності урожайності гречки від кількості опадів за вегетаційний період

Опади, см	Урожайність гречки, ц/га
5	5,6	-15	225	-84	1260	50625	4,7
10	10,3	-10	100	-103	1030	10000	10,9
15	13,8	-5	25	-69	345	625	15,7
20	18,1	0	0	0	0	0	18,7
25	22,4	5	25	112	560	625	20,1
30	21,0	10	100	210	2100	10000	19,7
35	16,2	15	225	243	3645	50625	17,6
	107,4	-	700	309	8940	122500	107,4

Середня кількість опадів за вегетаційний період:

.

Підставимо дані таблиці 1.10.2. в систему рівнянь:

(1),

(2),

(3).

З рівняння (2) визначимо, що параметр а₁=309:700=0,441. Перше і третє рівняння розділимо на коефіцієнт при а₀ (відповідно 7 і 700),

15,34 = а₀ +100 а₂ (1)

12,77 = а₀ +175 а₂ (2 )

Від першого рівняння віднімаємо друге:

,

звідси .

Підставивши в одне з попередніх рівнянь значення параметра а₂ , визначимо, що а₀ = 18,74.

Отже, рівняння параболи другого порядку, що характеризує залежність урожайності від кількості опадів за вегетаційний період матиме вигляд:

.

На відміну від прямолінійної залежності коефіцієнти регресії криволінійного зв’язку не можна інтерпретувати однозначно, оскільки швидкість зміни результативної ознаки при різних значеннях факторної ознаки неоднакова. У нашому прикладі а₁ = 0,441 показує приріст урожайності залежно від кількості опадів, а параметр а₂ = -0,034 – зниження урожайності.

Тісноту зв’язку при криволінійних формах залежності визначають за індексом кореляції:

,

де - міжгрупова дисперсія,

- загальна дисперсія.

5. Множинна кореляція

Соціально-економічні явища і процеси формуються під впливом не одного, а багатьох факторів. Наприклад, на урожайність сільськогосподарських культур впливають метеорологічні умови, кількість внесених добрив, сорт, строки сівби тощо.

Кореляцію, за допомогою якої вивчається вплив на результативну ознаку двох і більше взаємозв’язаних факторних ознак, називають множинною. При вивченні множинної кореляції можна застосувати як прямолінійні, так і криволінійні рівняння регресії.