2.2. Постановка задачи оптимальной статической маршрутизации

Рассмотрим классическую постановку задачи статической маршрутизации в ТКС с фиксированной (неизменной) динамикой.

Каждому ребру r_i R (т.е. односторонней или двусторонней связи) графовой модели ТКС вида (1.1.1) поставим в соответствие действительное число w_i0 и назовём его весом ребра (связи). В конкретных ТКС это число может быть мерой геометрического расстояния между узлами ТКС, времени прохождения данных между соответствующими узлами, стоимости канала связи или другого важного коммуникационного параметра. В случае ТКС с двусторонними связями величина веса ребра может быть, вообще говоря, различной в зависимости от направления передачи данных по соответствующему каналу связи.

Будем считать, что вес ребра (канала связи) графовой модели ТКС обладает следующими свойством аддитивности:

(2.2.1)

В этом случае вес совокупности рёбер графа ТКС, образующих маршрут, равен сумме весов отдельных рёбер.

Величина (2.2.1) может использоваться в качестве критерия оптимальности (целевой функции) маршрута в ТКС при определённых ограничениях на допустимые множества вершин (узлов) ТКС и рёбер (каналов связи) между ними.

Пусть задан ориентированный граф ТКС такой, что между любыми его вершинами (узлами) a₁ и a_k+1, называемыми соответственно начальным узлом a₁=s и конечным узлом a_k+1=f , существует, по крайней мере, один связывающий их маршрут передачи данных. Тогда задача поиска оптимального маршрута заключается в нахождении маршрута

P= {r₁, r₂,…., r_k }, (2.2.2)

имеющего минимальный суммарный вес (2.1.2) и удовлетворяющего заданным граничным условиям

a₁ = s , a_k+1=f .

Очевидно, что при классическом итеративном подходе в процессе решения этой задачи будут получены все кратчайшие маршруты, ведущие из узла a₁=s в каждый промежуточный узел aa₁ оптимального маршрута.

Таким образом, задача поиска оптимального маршрута передача пакетов данных в статических ТКС сводится к задаче нахождения маршрута из некоторого заданного начального узла a₁=s в любой узел a_k+1=f ТКС, достижимый из узла a₁=s.

2.3. Модели и алгоритмы статической маршрутизации

2.3.1. Дерево кратчайших маршрутов для ткс с односторонними связями

Для решения задачи оптимальной статической маршрутизации на графовой модели ТКС с односторонними связями введём следующие понятия:

a) деревом кратчайших расстояний относительного начального узла a₁=s будем называть ориентированное дерево с корнем s такое, что маршрут из s до любой вершины aявляется оптимальным;

b) максимальным деревом кратчайших расстояний T_(s) относительно начального узла a₁=s является дерево T(s), включающее в себя все узлы графа , достижимые из узла s.

Пусть T(s) - растущее дерево, содержащее все узлы aA графа , достижимые из начального узла s. Обозначим через w(s,a) вес ребра (канала связи) между узлами s и aT(s). Заметим, что

w(s,a) 0, w(s,s)= 0.

Дерево T(s) будет деревом кратчайчих расстояний, т.е. T(s)=, тогда и только тогда, когда

0w(s,a)w(s,b)+ w(a,b), aT(s),bT(s). (2.3.1)

Соотношение (2.3.1) является теоретической основой следующего рекуррентного алгоритма поиска оптимального маршрута:

1. Пусть T₁(s) - любое дерево, содержащее все узлы, достижимые из узла s.

2. На i-ом шаге (i2) алгоритма находится дерево кратчайших расстояний , для которого справедливо соотношение (2.3.1). При этом к дереву добавляется ребро (a_,b_) и вычёркивается ребро (канал связи), ведущее к b_.

3. На последнем шаге алгоритма определяется максимальное дерево кратчайших расстояний и соответствующий ему оптимальный маршрут.

В общем случае может быть найдено несколько оптимальных маршрутов. Если положить w_i=w(r_i)=1 для всех рёбер (каналов связи) r_iR , то будут найдены оптимальные маршруты, которые являются кратчайшими в том смысле, что они содержат наименьшее число рёбер (каналов связи) между начальным и конечным узлами ТКС с одностороними связями.

Данный алгоритм изначально строился для ТКС с односторонними связями, однако, в силу второго шага алгоритма он подходит и для ТКС со смешанными связями.