3.5 Суммирование по множеству

Пусть – непустое конечное множество элементов произвольной природы, , и задано произвольное отображение из в , т.е. каждому элементу из поставлено в соответствие некоторое действительное число ,

.

Часто возникает необходимость в оперировании с суммой или произведением всех образов , когда пробегает множество .

На практике такая ситуация встречается постоянно. Простейшей моделью является множество предметов, загружаемых в контейнер. В этом случае в качестве отображения из в может быть рассмотрен перечень загружаемых предметов с указанием веса каждого из них, а суммой всех образов этого отображения является вес этого груза. Другим примером является зарплата коллектива работников цеха, отдела или предприятия (в качестве множества ). Отображением из в в этом случае является платежная ведомость, по которой каждый работник получает деньги в кассе.

Основной способ введения обозначений для указанных выше суммы и произведения (он уже применялся выше при введении обозначений для перестановок -ой степени) состоит в том, что мы, игнорируя природу элементов множества , проводим их произвольную перенумерацию от 1 до , вследствие чего множество может быть заменено множеством , а элемент этого множества – его номером . Тогда по определению

. (3.15)

Переменный индекс , по которому идет суммирование и перемножение в левых частях равенства (3.15), называется иногда немым. Первое правило замены переменного в сумме и произведении состоит в том, что немой индекс может быть заменен на любой другой переменный индекс, например на индекс ,

.

В связи с тем, что операции сложения и умножения действительных чисел обладают свойствами коммутативности и ассоциативности, порядок расположения элементов в правых частях равенства (3.15) безразличен и при его произвольном изменении значения всей суммы и всего произведения не изменяется. Иными словами, если – произвольная перестановка -ой степени, то в равенствах (3.15) справедливо следующее правило замены переменного,

,

.

Однако, в ряде случаев игнорирования природы элементов множества доставляет определенные неудобства и при суммировании и перемножении элементов желательно в качестве индекса вместо номера сохранить его первоначальное значение . В связи с этим в качестве обозначений, эквивалентных обозначениям (3.15), применяются обозначения:

, (3.16)

читается: сумма по всем элементам множества , и

, (3.17)

читается: произведение по всем элементам множества . При этом сформулированные выше правила замены переменного в сумме и произведении вида (3.15) справедливы также для суммы (3.16) и произведения (3.17). Именно,

.

где – произвольная перестановка элементов множества .

Лекции IX и X.

План

3.6 Определитель -го порядка.

3.7 Свойства определителя.

3.6 Определитель n-го порядка

Пусть , . Определителем матрицы называется действительное число , которое вычисляется по правилу

, (3.18)

где

(3.19)

Определитель матрицы также называется детерминантом матрицы , и в этом случае используется обозначение , эквивалентное обозначению .

Разберем подробно случаи .

1) . Множество состоит из одной единичной перестановки , которую по аналогии с единичными перестановками более высоких степеней естественно считать четной. Поэтому определитель матрицы имеет вид .

2) . Множество перестановок второй степени состоит из одной четной и одной нечетной перестановки , , . Поэтому сумма (3.18) имеет два слагаемых,

.

3) . Множество состоит из шести перестановок третьей степени,

Перестановки – четные, а перестановки – нечетные. Поэтому

. (3.20)

При формула (3.18) содержит уже 24 слагаемых, в связи с чем становится ясно, что для вычисления определителей достаточно высокого порядка она мало пригодна. Нашей ближайшей задачей является изучение таких свойств определителя, которые бы, в частности, позволили разработать достаточно простой способ их вычисления, отличный от прямого счёта по формуле (3.18). Такой способ вычисления будет изложен ниже в пункте 3.10. Эффективность его настолько высока, что, как правило, этот способ целесообразно применять даже для вычисления определителей третьего порядка, избегая при этом использования формулы (3.20).

Принимая во внимание запись определителя в виде таблицы (3.18), ниже будем использовать следующие термины с очевидным их содержанием: определитель порядка , элемент определителя, строка определителя, столбец определителя.