МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

В.Б. Дыбин

Алгебра

Лекции и практика

Методическое пособие первокурснику

Часть 1

Модуль 1

Алгебра матриц

2008 г.

Введение

Курс «Алгебры» занимает одно из важнейших мест в системе образования не только для всех математических специальностей, но и для всех специальностей, которые используют математические методы. Например, у экономистов на этом курсе основаны такие дисциплины как линейное программирование и теория игр.

Первая часть содержит 12 лекций по алгебре, охватывающих три модуля: «Алгебру матриц», «Системы линейных алгебраических уравнений» и «Определители». Материал этих лекций составляет основную часть курсов первого семестра: «Алгебры» на отделении «математика» и Линейной алгебры» на отделении «математические методы и исследование операций». Поэтому содержание лекций и форма подачи материала играют определяющую роль в процессе адаптации вчерашних школьников к университетской системе обучения.

Главной особенностью настоящего пособия является включение в него наряду с теоретическим материалом большого количества упражнений по каждой теме вместе с разбором основных алгоритмов. Одновременно с целью «наведения мостов» между данным курсом и другими математическими разделами, ожидающими первокурсников, в текст «Лекций» включен дополнительный материал по теории множеств и отображений, а также дано описание основных алгебраических структур. Эти разделы, как правило, отмечены звездочкой.

Многолетние преподавание алгебры на механико-математическом и экономическом факультетах Ростовского университета убеждает автора в необходимости особого внимания к работе со студентами в первом семестре. Этим объясняется включение в текст пособия ряда нестандартных фрагментов: исторических справок, опытов обсуждения сложности вычислений и контроля за вычислениями, указаний приложения основных результатов и понятий.

Ниже символами ◄ и ► обозначается соответственно начало и конец доказательства, символом - предложение читателю самостоятельно провести доказательство отмеченного утверждения, а символом -наличие противоречия в рассуждениях. Впрочем, в тексте «Лекций» читатель будет встречать и другие символы, облегчающие процесс изложения материала. Например, символ заменит слова «влечет» и «следовательно», а символ употребляется вместо выражений «тогда и только тогда» или «равносильно». Разъяснения по поводу других значков будут даваться по ходу текста.

Настоящее пособия является переработкой трех тетрадей «Лекций по линейной алгебре» [], написанных автором, и трех тетрадей методических указаний, подготовленных в 1994-97 годах совместно с В.М. Семигуком [], которому автор выражает свою признательность за сотрудничество.

Гл. 1. Алгебра матриц

В этой главе, прежде всего, строится матричное исчисление. На множестве матриц, определяемых как таблицы вещественных чисел, вводятся операции (сложения, умножения, умножения на число, транспонирования и обращения) и изучаются свойства этих операций. Выясняется, что наряду со свойствами операций, наследуемыми матрицами у вещественных чисел, у них появляются и новые свойства, которыми вещественные числа не обладают. Например, умножение матриц оказывается некоммутативным.

После этого обсуждается проблема разложения матрицы на простейшие. Оказывается, что любую матрицу единственным образом можно представить в виде суммы матриц, каждая из которых обладает только одним ненулевым элементом. Представление матрицы в виде произведения простейших является более сложным и нуждается в построении специального аппарата элементарных матриц, оправдывающего себя в последующих разделах курса.

В последней части первой главы изучаются простейшие матричные уравнения.

Лекция I.

План

1. Матрицы. Терминология

2. Принцип равенства

3. Транспонирование матриц

4. Сложение матриц

5. Умножение матрицы на число