1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные

матрицы

Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:

1) перемена местами двух строк или столбцов; обозначения – или соответственно;

2) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения – или соответственно, ;

3) добавление к какой-либо строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число ; обозначения – или соответственно (элементарное преобразование этого типа называется трансвекцией).

В результате применения к матрице элементарного преобразования первого типа её строки и (или столбцы и ) поменяются местами; во втором случае строка (или столбец ) будет заменена на строку (или столбец ); в последнем случае строка (или столбец ) будет заменена на строку (или столбец ), а строка (столбец ) остается неизменной.

Свойства элементарных преобразований.

1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

◄ Пусть в матрице нужно поменять местами, например, строки и . Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату

. ►

2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица получена из матрицы с помощью элементарного преобразования, тогда матрица может быть получена из матрицы с помощью элементарного преобразования того же самого типа.

◄ Используя для обозначения обратных элементарных преобразований символ ( )^-1 непосредственной проверкой убеждаемся, что

,

,

. ►

3) Квадратная матрица называется элементарной, если она получена из единичной матрицы с помощью одного элементарного преобразования. Несмотря на то, что имеется шесть видов элементарных преобразований, три строчных и три столбцовых, видов элементарных матриц всего три, так как одна и та же элементарная матрица может быть получена как с помощью строчного так и с помощью столбцового элементарных преобразований.

◄ Действительно, элементарные преобразования и порождают одну и ту же элементарную матрицу

(1.17)

Элементарные преобразования и порождают одну и ту же элементарную матрицу

(1.18)

Наконец, элементарные преобразования и порождают одну и туже элементарную матрицу

►

(1.19)

4) элементарные матрицы обратимы, обратные им матрицы элементарны и порождаются элементарными преобразованиями, обратными исходным элементарным преобразованиям.

◄ Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что матрица вида (1.17) обратна самой себе, а матрицы

являются соответственно обратными матрицами матриц вида (1.18) и (1.19). ►

5) Пусть . Проведение в матрице одного строчного (столбцового) элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева (справа) на элементарную матрицу порядка (порядка ), отвечающую этому элементарному преобразованию.

◄ Ввиду свойства 1) элементарных преобразований в проверке нуждаются лишь элементарные преобразования второго и третьего типов. Предлагаем читателю показать самостоятельно, что умножение матрицы вида (1.1) на матрицы вида (1.18) и (1.19) слева равносильно проведению в матрице элементарных преобразований соответственно и , а умножение на матрицы указанного вида справа равносильно проведению в ней элементарных преобразований соответственно и . ►

Лекция IV.

План

1.11 Эквивалентные матрицы

1.12^* Отношение эквивалентности