Пример 6. Статистическое оценивание параметров системы

Рис. 6.7. Разброс точек с отрицательной корреляцией

В качестве примера разыграем реализации системы (X, Y) из примера 4 объектами X и Yx, сравним вычисленные характеристики r, _y и m_y с их статистическими оценками, полученнными с помощью функций CorrelCoef (Листинг 4.1), std (стандартное отклонение) и mean (среднее арифметическое) из библиотеки MATLAB:

>> X=Norm_1(0,2); Yx=Norm_1(0,3);

>> N=10000;xs=Gen(X,N);ys= xs;

>> for i=1:N ys(i)=Gen(setval(Yx,-1.5*xs(i),[]));end

>> r=CorrelCoef(xs, ys),sY = std(ys),mY = mean(ys)

r = -0.7017 sY = 4.2383 mY = 0.0086

При большом числе испытаний N =10000 результат оказался очень близок к точным значениям ЧХ r=-0.7071, sY = 4.2426 и m_y = 0. Выведем первые 500 точек (рис. 6.7):

>> plot(xs(1:500),ys(1:500),'.')

Расположение точек характерно для довольно сильной отрицалельной корреляции. Посмотрим, насколько возросла бы погрешность оценок по меньшему объему статистики:

>> r=CorrelCoef(xs(1:500),ys(1:500)),sY = std(ys(1:500)),mY = mean(ys(1:500))

r = -0.7363 sY = 4.4120 mY = 0.0971

>> r=CorrelCoef(xs(1:50),ys(1:50)),sY = std(ys(1:50)),mY = mean(ys(1:50))

r = -0.7671 sY = 4.4228 mY = 0.2457

Пример 7. Моделирование пространственного рассеивания

Ошибки наведения по координатам x, y в картинной плоскости подчиняются нормальному закону с одинаковыми параметрами m_x = m_y = 0, _x = _y = 3. Разыграем N = 500 случайных траекторий, чтобы получить реализации промаха R:

>> N=500;X=Norm_1(0,3);Y=X; x=Gen(X,N); y=Gen(Y,N);R=sqrt(x.^2+y.^2);

Рис. 6.8. Статистика промахов и ошибок срабатывания; распределение промахов

Допустим, согласование диаграммы направлености взрывателя с углами разлета ПЭ таково, что идеальное положение точки разрыва на траектории пропорционально промаху с коэффициентом  k = 0,6, а разброс случайных положений срабатывания подчиняется нормальному закону с параметрами m_z = 0, _z = 2. Разыграем точки срабатывания и покажем их на графике (рис. 6.8) зеленым цветом:

>> Z=Norm_1(0,2); k=0.6;

>> z=[];for i=1:N z(i)=Gen(setval(Z,k*R(i),[]));end

>> plot(z, R,'.g')

Уменьшим в 2 раза СКО ошибки взрывателя и покажем точки срабатывания черным цветом, вычислим коэффициент корреляции между R и Z, средний промах и СКО промаха:

>> Z=Norm_1(0,1);

>> z=[];for i=1:N z(i)=Gen(setval(Z,k*R(i),[]));end

>> plot(z, R,'.k')

>> r=CorrelCoef(R, z), sR = std(R), mR = mean(R)

r = 0. 7618 sR = 1.9657 mR = 3.7771

Увеличим число испытаний до N=100000 и построим на рис. 6.8 гистограмму промахов:

>> N=100000;X=Norm_1(0,3);Y=X; x=Gen(X,N); y=Gen(Y,N);R=sqrt(x.^2+y.^2);

>> [f,F,H]=SmartHist(R,[],30,50); H.p=H.p/H.h;Show(H,'w')

Построим аппроксимирующую функцию в форме закона Рэлея f(r) =:

>> [fun,par]=Approx('x/L^2.*exp(-x.^2/2/L^2)',H.x,H.p,3)

fun =

Inline function:

fun(x,L) = x/L^2.*exp(-x.^2/2/L^2)

par = 3.0005

В следующей лекции будет показано, что промах при круговом нормальном рассеивании (с одинаковыми СКО координат _x = _y = ) действительно подчиняется закону Рэлея с параметром . МО и СКО этого закона m_r  1,25 = 1,253 = 3,75 и _r  0,655 = 0,6553 = = 1,965 практически совпадают с полученными оценками sR и mR.

Построим кривую плотности распределения как огибающую гистограммы:

>> hold on, r=0:0.1:10;plot(r,fun(r,par),'r')

Мы не использовали явно закон распределения промаха R. Статистическое моделирование его аргументов – известных распределений координат X, Y – и вычисления в каждой реализации по определенному алгоритму (в данном случае, по формуле Пифагора) дало статистику интересующего результата, стандартная обработка которой позволяет получить оценку интересующей СВ.

Контрольные вопросы

1. Объясните вероятностный смысл функции распределения системы двух СВ.

2. Плотность распределения системы двух непрерывных СВ.

3. Каков смысл элемента вероятностей непрерывной системы двух СВ?

4. Как связаны функция распределения и плотность распределения системы двух непрерывных СВ?

5. Какова связь между совместным и частными законами распределения независимых и зависимых СВ?

6. Правило умножения плотностей независимых и зависимых СВ. Каков смысл условного закона распределения? Как получить условный закон распределения, если известен совместный закон?

7. Основное свойство матрицы распределения. как получить ряд распределения одной из СВ по матрице распределения системы.

8. Какому закону подчиняется сумма строк и сумма столбцов матрицы распределения полиномиального закона?

9. Как вычислить условное МО одной из СВ системы по совместной плотности распределения?

10. Логическая связь между фактами зависимости (независимости) и коррелированности (некоррелированности) двух СВ? В каких случаях зависимые СВ могут быть некоррелированными?

11. Свойства линейной и нормальной регрессии.

ПРИЛОЖЕНИЕ к лекции 6

Листинг 6.1. Функция p_Polynom

% Вычисляет вероятности комбинаций числа успехов в обобщенных

% испытаниях Бернулли с вероятностями исходов в векторе p.

% Исходы автоматически дополняются до полной группы

function out = p_Polynom(p,n,m)

N=size(m,1);

for i=1:N

out(i)=f_Polynom(p,n,m(i,:));

end

%

function out = f_Polynom(p,n,m)

out =0;

if sum(p) > 1 | sum(m) >n return, end

if sum(m) < n m(end+1)=n-sum(m); end

if sum(p) < 1 p(end+1)=1-sum(p); end

if length(p)<length(m) p(end+1)=1-sum(p); end

if length(p)>length(m) m(end+1)=n-sum(m); end

out = prod(1:n)*prod(p.^m);

for i= 1:length(m)

out=out/prod(1:m(i));

end

Листинг 6.2. Функция Trap2 вычисления двукратных интегриралов

function out = Trap2(f,x,y)

dx=diff(x); dx=[dx(1)/2 dx(1:end-1) dx(end)/2];

dy=diff(y); dy=[dy(1)/2 dy(1:end-1) dy(end)/2];

if size(dx,2)~=size(f,1) f=f'; end

out = 0; if size(dx,2)~=size(f,1) return; end

if size(dy,2)~=size(f,2) return; end

out=dx*f*dy';

1 Элементы матрицы распределения, так же как и ряда распределения, упорядочены по возрастанию возможных значений.

2 Если Z_i – индикатор события поражения i-й цели, число пораженных целей Z = , а так как M[Z_i] = W_i, то M[Z] = M[] ==.