Операции с дискретными распределениями

Полиномиальный закон не имеет такого широкого применения, как биномиальный, но выполненные на этом примере операции с матрицей распределения характерны для решения задач с системами дискретных СВ. Часто бывает известен ряд распределения одной из СВ P(Y = y_i) = g_j и условные вероятности P(X = x_i /Y = y_j) = p_i|j, а нужно построить безусловный ряд распределения другой СВ X. Построив матрицу распределения p_ij = g_jp_i|j, i, j, искомый закон распределения можно вычислить суммированием соответствующих ее строк (или столбцов): P(X = x_i) = .

Пример 3. Операции с матрицей распределения

К такой схеме сводится вычисление эффективности действия самонаводящихся ПЭ по группе целей при случайном выборе целей. Чтобы вычислить показатель эффективности – МО числа пораженных целей, нужно знать вероятность поражения каждой i-й цели W_i, тогда показатель можно получить суммированием этих вероятностей². Если известен закон поражения G(k) и распределение числа X попаданий в нее p_k = P(X = k), вероятность поражения i-й цели можно вычислить по формуле Колмогорова:

W_i = 

Если каждый из n ПЭ успешно наводится на какую-либо цель и попадает в нее с вероятностью p, то случайное число Y попавших ПЭ распределено по биномиальному закону с параметрами n, p. По условию задачи каждый из них может выбрать i-ю цель из m случайно с вероятностью 1/m. Значит число попаданий в i-ю цель подчиняется биномиальному закону с вероятностью успеха 1/m и случайным числом повторений Y. Построив условный закон распределения p_i|j = P(X = i/Y = j) и распределение g_j = P(Y = j), вычислим матрицу распределения p_ij = g_jp_i|j, суммированием строк которой получим вероятности гипотез P(X = k):

>> n=5;m=4;p=0.8;R=p_Binom(p,n);

>> P=[];for j=1:n+1 P(:,j)=R(j)*p_Binom(1/m,j-1,(0:n)'); end, P, pX=sum(P,2)

P = 0.0003 0.0048 0.0288 0.0864 0.1296 0.0778 pX = 0.3277

0 0.0016 0.0192 0.0864 0.1728 0.1296 0.4096

0 0 0.0032 0.0288 0.0864 0.0864 0.2048

0 0 0 0.0032 0.0192 0.0288 0.0512

0 0 0 0 0.0016 0.0048 0.0064

0 0 0 0 0 0.0003 0.0003

Теперь, имея вероятности гипотез для формулы Колмогорова, вычислим вероятность поражения одной из целей. Уязвимость целей характеризуется вероятностью поражения при одном попавшем ПЭ r = 0,7:

>> r=0.7; G=1-(1-r).^(0:n); W=dot(G, pX)

W = 0.5296

Среднее число пораженных целей M_ц = W m = 0.5296  4 = 2,12.

Проверка решения простым способом

Кстати, вероятность поражения элементарной цели в условиях полной независимости (выбора цели, попаданий и поражения несколькими попавшими ПЭ) можно получить как число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха, равной pr/m:

>> W=1-(1-p*r/m)^n

W = 0.5296

Действия с матрицей распределения дали тот же результат, что и биномиальная формула, но матрица распределения может быть получена и иным способом без предположения о независимости событий. При этом формулы (6.16) – (6.19) остаются справедливыми.

Числовые характеристики системы двух случайных величин

Моментные характеристики

Начальными моментами порядка k+s называются МО произведения степеней X^k, Y^s, а центральными  МО таких же произведений центрированных СВ (X – m_x)^k, (Y – m_y)^s:

_k,s[X, Y] = M[X^kY^s],

_k,s[X, Y] = .

Через плотность непрерывной системы f(x, y) и матрицу распределения дискретной системы p_ij начальные и центральные моменты вычисляются по формулам:

(6.21)

Числовые характеристики условных распределений.

С системой (X, Y) связаны распределения F_X(x), F_Y(y) и условные распределения F_X|y(x|y), F_Y|x(y|x), а значит и все числовые характеристики, определенные для одномерных СВ. Моменты одномерных распределения можно вычислять по соответствующим формулам через частные законы или через совместный закон по формулам (6.21) как _k,0, _0,s и _k,0 и _0,s.

Числовые характеристики условных распределений не отличаются особыми свойствами, но в определенной мере они отражают связи между СВ системы. Условное МО распределения f_X|y(x|y)

(6.22)

называется регрессией X на y (среднее значение СВ X при условии, что Y приняла значение, близкое к y). Аналогично определяется регрессия Y на x. График функции x = M[X|y] называется линией регрессии X на y, а график функции y = M[Y|x] – линией регрессии Y на x.

Если X и Y независимы, f_x(y|x)  = f_x(y) и m_x|y = m_x (а также m_y|x = m_y), линии регрессии параллельны осям координат. С другой стороны, постоянство условных МО означает лишь независимость случайных величин «в среднем», хотя зависимость условных распределений от значений другой СВ может проявляться в условных моментах старших порядков.

Условный центральный момент второго порядка называется условной дисперсией:

.