
- •Определение и примеры
- •Совместная функция распределения системы св и ее свойства
- •Вероятность попадания в прямоугольник
- •Система двух непрерывных случайных величин
- •Плотность совместного распределения системы св
- •Элемент вероятности и вероятность попадания в произвольную область
- •Основное свойство плотности распределения
- •Интегральная формула полной вероятности
- •Связь частных распределений с совместной плотностью
- •Условная плотность распределения
- •Теорема умножения плотностей
- •Связь между совместной и условной плотностью распределения
- •Пример 1. Произведение нормальныз законов независимых св
- •Система двух дискретных случайных величин
- •Свойства матрицы распределения
- •Условный ряд распределения
- •Полиномиальное распределение
- •Пример 2. Проекции полиномиального распределения
- •Операции с дискретными распределениями
- •Пример 3. Операции с матрицей распределения
- •Пример 4. Произведение нормальных законов зависимых св
- •Центральные моменты второго порядка
- •Коэффициент корреляции
- •Границы значений коэффициента корреляции
- •Линейная регрессия
- •Нормальная регрессия
- •Пример 5. Построение условных распределений
- •Статистическое моделирование системы двух св
- •Моделирование двумерных распределений
- •Пример 6. Статистическое оценивание параметров системы
- •Пример 7. Моделирование пространственного рассеивания
- •БэсПиБп.6. Системы двух случайных величин 14
Операции с дискретными распределениями
.
Пример 3. Операции с матрицей распределения
Wi =
Если каждый из n ПЭ успешно наводится на какую-либо цель и попадает в нее с вероятностью p, то случайное число Y попавших ПЭ распределено по биномиальному закону с параметрами n, p. По условию задачи каждый из них может выбрать i-ю цель из m случайно с вероятностью 1/m. Значит число попаданий в i-ю цель подчиняется биномиальному закону с вероятностью успеха 1/m и случайным числом повторений Y. Построив условный закон распределения pi|j = P(X = i/Y = j) и распределение gj = P(Y = j), вычислим матрицу распределения pij = gjpi|j, суммированием строк которой получим вероятности гипотез P(X = k):
>> n=5;m=4;p=0.8;R=p_Binom(p,n);
>> P=[];for j=1:n+1 P(:,j)=R(j)*p_Binom(1/m,j-1,(0:n)'); end, P, pX=sum(P,2)
P = 0.0003 0.0048 0.0288 0.0864 0.1296 0.0778 pX = 0.3277
0 0.0016 0.0192 0.0864 0.1728 0.1296 0.4096
0 0 0.0032 0.0288 0.0864 0.0864 0.2048
0 0 0 0.0032 0.0192 0.0288 0.0512
0 0 0 0 0.0016 0.0048 0.0064
0 0 0 0 0 0.0003 0.0003
Теперь, имея вероятности гипотез для формулы Колмогорова, вычислим вероятность поражения одной из целей. Уязвимость целей характеризуется вероятностью поражения при одном попавшем ПЭ r = 0,7:
>> r=0.7; G=1-(1-r).^(0:n); W=dot(G, pX)
W = 0.5296
Среднее число пораженных целей Mц = W m = 0.5296 4 = 2,12.
Проверка решения
простым способом
>> W=1-(1-p*r/m)^n
W = 0.5296
Действия с матрицей распределения дали тот же результат, что и биномиальная формула, но матрица распределения может быть получена и иным способом без предположения о независимости событий. При этом формулы (6.16) – (6.19) остаются справедливыми.
Числовые характеристики системы двух случайных величин
Моментные характеристики
k,s[X, Y] = M[XkYs],
k,s[X, Y] = .
Через плотность непрерывной системы f(x, y) и матрицу распределения дискретной системы pij начальные и центральные моменты вычисляются по формулам:
|
(6.21) |
Числовые характеристики
условных распределений.
Числовые характеристики условных распределений не отличаются особыми свойствами, но в определенной мере они отражают связи между СВ системы. Условное МО распределения fX|y(x|y)
|
(6.22) |
называется регрессией X на y (среднее значение СВ X при условии, что Y приняла значение, близкое к y). Аналогично определяется регрессия Y на x. График функции x = M[X|y] называется линией регрессии X на y, а график функции y = M[Y|x] – линией регрессии Y на x.
Если X и Y независимы, fx(y|x) = fx(y) и mx|y = mx (а также my|x = my), линии регрессии параллельны осям координат. С другой стороны, постоянство условных МО означает лишь независимость случайных величин «в среднем», хотя зависимость условных распределений от значений другой СВ может проявляться в условных моментах старших порядков.
Условный центральный момент второго порядка называется условной дисперсией:
.