- •7. Вычислить выражения:
- •Вычислить:
- •Задание № 4-3.
- •Задание 5-4.
- •3. Вычислить определители:
- •Задание 6-3.
- •Задание № 73.
- •Задание № 8-5.
- •Задание 9-2.
- •2.Вычислить выражения:
- •Задание 101.
- •Ответы.
- •Задание № 13 1.
- •Ответы.
- •Задание № 143.
- •Ответы.
- •Задание № 15 4.
- •Ответы .
- •Задание № 16-2.
- •Ответы.
Ответы.
1a. (x 1)5 + 5(x 1)4 + 10(x 1)3 + 10(x 1)2 + 5(x 1) + 1.
1б. f(x) = (x + 3)(2x4 6x3 + 13x2 39x + 109) 327, f(x0) = 327.
2а. (x + 1)4(x 4).
2б. (x4 + x3 + 2x2 + x + 1)2.
3. f(x) = x4+ 4x3 x2 7x + 5.
Задание № 13 1.
1. Построить многочлен степени 4 со старшим коэффициентом 1,
а) имеющий корни 1, 2, 3, 4,
б) имеющий корни 1(двойной), 2, 3, и 1 + i (простые).
2. Определить соотношение между p и q, при выполнении
которого корни х1, х2, х3 многочлена х3 + рх + q
удовлетворяют условию х3 = х2-1 + х1-1.
3. Определить так, чтобы при х < полином х5 4х3 + 2х
был меньше 0,1 по модулю.
4. Найти х так, чтобы f(х) < f(1), где f(х) = х4 3х3 + 2.
Ответы.
1a. х4 + 4x3 7x2 + 34x + 24.
1б. (x 1)2(x 2)(x 1 i)=x5 (8 + i)x4 + (24 7i)x3 34 + 17i)x2 +
+ (23 + 17i)x (6 + 6i).
2. q3 + pq + q = 0 (q2 + p + 1 = 0).
3. = 1/21.
4. x = 1 , 0 < < 1/8.
Задание № 143.
1.Составить ряд Штурма и отделить корни многочленов:
а) х3 7х + 7, б) 2х4 8х3 + 8х 1, в) х4 4х3 4х2 + 4х + 1.
2.Доказать,что многочлен t3 3t + r не может иметь более одного
вещественного корня в интервале (0,1).
3.Ограничить сверху и снизу вещественные корни многочлена:
х7 108х5 445х3 + 900х2 + 801.
4.Доказать, что многочлен х8 + 7х6 9х5 х4 3 имеет ровно два
вещественных корня, положительный и отрицательный.
5.Вычислить с точностью до 0,0001вещественный корень уравнения х4 + 3х3 9х 9 = 0, содержащийся в интервале (0,2).
Ответы.
1а. 3 вещ. корня в интервалах: (4, 3), (1, 3/2), (3/2, 2).
1б. 4 вещ. корня в интервалах: (1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3).
1в. f = x4 4x3 4x2 + 4x + 1, f1 = x3 3x2 2x + 1, f2 = 5x2 x 2,
f3 = 18x + 1, f4 = 1. 4 вещ. корня в интервалах: (2, 1), (1, 0), (0, 1), (4, 5).
2. Проверить, что производная не может иметь корней в итерв.(0, 1).
3. 11 < xi < 11.
4. По правилу знаков Декарта f(x) имеет 1 положит. корень, как и
f(x) = x8 + 7x6 + 9x5 x4 3, слно, f имеет 1 отрицат. корень и f(0) 0.
5. 3,3876, 0,5136, 2,8741. 6. 1,7320.
Задание № 15 4.
1.Ассоциативна ли операция на множестве М, если
а) М = Z, x y = x y;
б) М = Z, x y = x2 + y2;
в) М = R, x y = sinxsiny;
2.Определены ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1, R, R+ следующие операции. Какие из операций обладают свойствами коммутативности, ассоциативности ?
а) а b = а/b; в) а b = ;
б) а b = (а + b)/2; г) а b = ab ba;
3.Какие из указанных множеств с операциями являются группами:
а) ( 1, 1, );
б) множество степеней данного числа а, а R, а 0 c целыми показателями относительно умножения;
в) множество всех комплексных корней фиксированной степени n из 1 относительно умножения;
г) множество невырожденных матриц относительно умножения;
д) множество матриц с фиксированным определителем d относительно умножения;
е) множество диагональных матриц относительно сложения;
ж) множество R+, если операция определена так:
а b = ab;
з) множество R+, если операция определена так:
а b = a2b2;
и) перестановки чисел (1, 2,..., n) относительно умножения;
к) множество корней всех целых положительных степеней из 1 относительно умножения.