3.4.6. Геометрія мас .

Моментом інерції тіла відносно осі називається сума добутків елементів мас тіла на квадрати їх віддалей від осі :

Теорема Штейнера :

Момент інерції тіла відносно будь-якої осі дорівнює сумі момента інерції тіла відносно осі Z , що проходить через центр мас тіла і добутку маси тіла m на квадрат віддалі між осями :

Осьові моменти інерції деяких однорідних тіл .

Тонке кільце :

Тонкостінний циліндр :

Суцільний циліндр :

Товстостінний циліндр :

Диск :

Диск :

Куля :

Тонкий стержень :

Чотирикутна пластина :

3.4.7 Робота .

Робота d’А сили на нескінченно малому переміщенні (елементарна робота) є скалярна величина , що визначається за формулою :

Якщо під дією сили матеріальна точка переміщується із положення в положення , то робота сили на шляху дорівнює :

Формули для визначення елементарної і повної роботи сили в аналітичному вигляді :

Коли матеріальна точка рухається прямолінійно під дією сталої сили , то робота А визначається за формулою :

Робота сили ваги :

Де Н – висота переміщення ;

Робота сили пружності пружини :

Де х – деформація пружини ;

Робота пружної сили при деформації із стану до стану дорівнює :

Розмірність роботи :

Потужність сили

Механічний зміст : N - робота сили за одиницю часу .

Одиниця вимірювань :

3.4.8. Кінетична енергія матеріальної точки і механічної системи .Теореми про зміну кінетичної енергії точки і системи .

Кінетичною енергією рухомої матеріальної точки називається скалярна величина , що дорівнює половині добутку маси рухомої точки на квадрат її швидкості .

Кінетична енергія має розмірність роботи (Н м) .

Теорема про зміну кінетичної енергії точки :

- В диференціальній формі : диференціал кінетичної енергії матеріальної точки дорівнює елементарній роботі всіх сил , прикладених до точки або :

- В скінченій формі : приріст кінетичної енергії матеріальної матеріальної точки на скінченній ділянці шляху дорівнює роботі рівнодіючої всіх сил прикладених до точки , на тій самій ділянці шляху , або :

де V₁ швидкість точки в кінці шляху ;

V₀ швидкість точки на початку пройденого шляху (початкова швидкість).

Кінетична енергія механічної системи – це скалярна величина , рівна сумі кінетичних енергій матеріальних точок системи :

m_i - маса і – ї точки системи ;

V_i - її швидкість .

Теорема Кеніга .

Кінетична енергія системи дорівнює кінетичній енергії центра мас системи , в її поступальному русі і кінетичної енергії системи в її відносному русі відносно до центра мас :

де m_i - маса і – ї точки системи ;

V_r - її відносна швидкість по відношенню до центра інерції ;

M - маса всієї системи ;

V_c - швидкість центра інерції системи .

Кінетична енергія твердого тіла визначається за формулою :

1. При поступальному русі :

де m - маса тіла ;

V_c - швидкість тіла ;

2. При обертальному русі :

де - момент інерції тіла відносно осі обертання ;

- кутова швидкість обертального руху .

3. При плоскопаралельному русі :

де - маса тіла;

- швидкість центра мас тіла ;

- кутова швидкість тіла ;

- момент інерції тіла відносно осі Z , що проходить через центр мас .

Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи .

• в диференціальній формі : диференціал від кінетичної енергії механічної системи дорівнює сумі елементарних робіт всіх зовнішніх і внутрішніх сил , що прикладені до системи :

• в інтегральній формі : зміна кінетичної енергії системи матеріальних точок на скінчених відрізках шляху , пройдених точками системи , дорівнює сумі робіт внутрішніх і зовнішніх сил системи , що прикладені до точок системи на цих відрізках шляху :

Де - кінетична енергія на початку та в кінці шляху.