3.4.2. Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки .

Кількістю руху матеріальної точки називається вектор , що дорівнює добуткові маси точки на вектор її швидкості

Кількістю руху матеріальної системи називається вектор , що дорівнює геометричній сумі кількостей руху всіх матеріальних точок системи :

Кількість руху матеріальної системи дорівнює добутку маси системи на вектор швидкості її центра мас :

Елементарним імпульсом сили називається вектор .

В проекціях на координатні осі імпульс дорівнює :

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки :

• в диференціальній формі :

• перша похідна від кількості руху матеріальної точки по часу дорівнює рівнодіючий всіх сил, прикладених до точки :

Цю теорему в проекціях на координатні осі записують так :

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки :

• в інтегральній формі :

зміна кількості руху матеріальної точки за якийсь проміжок часу дорівнює імпульсові рівнодійної за той самий проміжок часу :

В проекціях на осі декартової системи координат :

3.4.3. Теорема про зміну кількості руху системи матеріальних точок .

• в диференціальній формі : похідна по часу від кількості руху матеріальної системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил , діючих на систему :

в проекціях на осі :

-в інтегральній формі : зміна кількості руху матеріальної системи за деякій проміжок часу дорівнює імпульсові головного вектора зовнішніх сил , діючих на точки системи , за той самий відрізок часу :

де - імпульс головного вектора зовнішніх сил системи за даний відрізок часу .

3.4.4. Теореми про зміну момента кількості руху матеріальної точки і про зміну кінетичного момента механічної системи .

Момент кількості руху матеріальної точки відносно якогось центра О є вектор , що дорівнює векторному добутку радіуса вектора точки , початок якого є в точці О , на кількість руху цієї точки :

Кінематичним моментом механічної системи або головним моментом кількості руху матеріальної системи відносно будь-якої нерухомої точки О називається геометрична сума моментів кількості руху всіх точок системи відносно даної точки :

Момент кількості руху матеріальної точки відносно координатної осі :

де величина проекції вектора в площину , перпендикулярну до осі .

Кінетичний момент твердого тіла , що обертається навколо нерухомої осі дорівнює добутку момента інерції твердого тіла відносно осі та його кутової швидкості :

Теорема про зміну момента кількості руху матеріальної точки :

похідна по часу від момента кількості руху матеріальної точки відносно якогось центра О дорівнює моменту рівнодіючої сил , діючої на цю точку відносно того ж центра :

Вибравши початок прямокутної системи координат в центрі моментів , теорему можна записати у вигляді трьох рівнянь :

тобто : похідна по часу від момента кількості руху матеріальної точки відносно будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту рівнодіючої сили , відносно тієї ж осі .

Теорему про зміну момента кількості руху матеріальної системи особливо ефективно застосовувати в таких випадках :

1. Якщо момент рівнодіючої всіх сил прикладених до матеріальної точки , відносно якогось центра О дорівнює нулю , то момент кількості руху матеріальної точки відносно цього ж центра є сталий вектор (якщо , то ).

2. Якщо момент рівнодіючої сили відносно якоїсь осі , або , інакше якщо алгебраїчна сума моментів всіх сил відносно якоїсь осі весь час дорівнює нулю , то момент кількості руху матеріальної точки відносно цієї осі залишається сталим (якщо , то ).

3. Випадки (1) і (2) це відповідно закони збереження момента кількості руху точки відносно даної осі і відносно даної точки .

4. Теорема про зміну кінематичного момента механічної системи :

5. похідна по часу від кінетичного момента механічної системи відносно будь-якої нерухомої точки дорівнює головному моменту зовнішніх сил відносно даної точки :

де - головний момент всіх зовнішніх сил діючих на систему відносно даної точки О .

Проектуючи векторне рівняння на осі декартової нерухомої системи координат , одержуємо три рівняння :

Тобто : похідна по часу від кінетичного моменту системи відносно будь-якої осі дорівнює головному моментові зовнішніх сил , діючих на систему сил відносно тієї ж осі .

Закон збереження кінетичного моменту системи відносно точки і осі запишуться так

1. Якщо то ;

2. Якщо то .

3.4.5.Диференціальне рівняння обертання твердого тіла відносно нерухомої осі :

де - момент інерції твердого тіла відносно осі Z (при обертанні твердого тіла є мірою інертності) ;

- кутова швидкість обертання тіла навколо цієї осі .