3.3. Дві основні задачі динаміки .

Пряма або перша основна задача динаміки точки : Рух точки , а також її маса відомі , треба знайти силу , яка діє на точку .

Обернена або друга задача динаміки точки : Відомі сили , які діють на точку , її маса , а також початкові умови руху , треба визначити закон руху точки .

3.4. Загальні теореми динаміки точки і механічної системи .

Механічною системою (матеріальною системою ) називається сукупність матеріальних точок , рух кожної з яких залежить від положення і руху інших .

Розрізняють вільні і невільні механічні системи . Механічна система називається вільною , якщо рух її точок необмежений ніякими сторонніми тілами ( в’язями ). Якщо рух механічної системи обмежений в’язями , то вона називається невільною.

Обмеження , які в’язі накладають на механічну систему , аналітично виражаються у вигляді співвідношень ( рівнянь або нерівностей ) між часом , координатами і швидкостями матеріальних точок , які утворюють систему . Визначення в’язей з допомогою рівнянь або нерівностей спрощує постановку питання і дає змогу застосовувати методи математичного аналізу до розв’язання задач про рух невільних матеріальних систем .

3.1. Закони Ньютона :

1.Ізольована матеріальна точка перебуває в стані прямолінійного рівномірного руху або стані спокою відносно системи координат , яка рухається поступально , прямолінійно і рівномірно .

2.Сила , що діє на матеріальну точку , пропорційна її прискоренню :

3. Дві матеріальні точки взаємодіють між собою з силами рівними по величині і протилежними за напрямом :

4.Закон незалежності дії сил : Якщо на матеріальну точку одночасно діють декілька сил , то прискорення , одержуване точкою , дорівнює геометричній сумі сил тих прискорень , які точка одержує від кожної сили зокрема.

3.2. Диференціальні рівняння руху вільної матеріальної точки .

Основне рівняння динаміки :

Дане рівняння можна подати у вигляді проекції на три осі декартових координат :

де m – маса точки ; - проекції прискорення точки ;

- алгебраїчні суми проекцій всіх сил ( які діють на точку ) на координатні осі .

3.3. Дві основні задачі динаміки .

Пряма або перша основна задача динаміки точки : Рух точки , а також її маса відомі , треба знайти силу , яка діє на точку .

Обернена або друга задача динаміки точки : Відомі сили , які діють на точку , її маса , а також початкові умови руху , треба визначити закон руху точки .

3.4. Загальні теореми динаміки точки і механічної системи .

Механічною системою (матеріальною системою ) називається сукупність матеріальних точок , рух кожної з яких залежить від положення і руху інших .

Розрізняють вільні і невільні механічні системи . Механічна система називається вільною , якщо рух її точок необмежений ніякими сторонніми тілами ( в”язями ). Якщо рух механічної системи обмежений в”язями , то вона називається невільною.

Обмеження , які в”язі накладають на механічну систему , аналітично виражаються у вигляді співвідношень ( рівнянь або нерівностей ) між часом , координатами і швидкостями матеріальних точок , які утворюють систему . Визначення в”язей з допомогою рівнянь або нерівностей спрощує постановку питання і дає змогу застосовувати методи математичного аналізу до розв”язання задач про рух невільних матеріальних систем .

Класифікація в’язей .

Геометричні ( скінченні ) в’язі – це в’язі , до рівняння яких не входять швидкості точок системи :

Класифікація в”язей .

Геометричні ( скінченні ) в’язі – це в’язі , до рівняння яких не входять швидкості точок системи :

Кінематичні ( диференціальні ) в’язі – це такі в’язі , до рівняння входять швидкості точок системи :

Якщо рівняння кінематичної в’язі після інтегрування можна перетворити у рівняння геометричної в’язі , ця кінематична в’язь називається голономною (інтегрованою). В протилежному - кінематична в’язь називається неголономною (неінтегрованою).

Стаціонарні в’язі – це в’язі , до рівнянь яких час не входить у явному вигляді .

Нестаціонарні в’язі – це в’язі , до рівнянь яких час входить у явному вигляді .

Двобічні ( стримуючи ) в’язі – це в’язі , що обмежують рух точок механічної системи в двох взаємно протилежних напрямках зовнішніх нормалей до поверхні в’язі .

Однобічні ( нестримуючи ) в’язі – це в’язі , що обмежують рух точок механічної системи тільки в якомусь одному напрямі зовнішньої нормалі до поверхні в’язі і не обмежує його в протилежному напрямі .

Стримуючи в’язі аналітично виражаються рівняннями :

а нестримуючи нерівностями :

У динаміці механічної системи велике значення має поняття про кількість степенів вільності . Кількістю степенів вільності системи матеріальних точок , на яку накладено голономні в”язі , називається кількість незалежних між собою параметрів ( узагальнених координат ) , які цілком визначають рух системи .

Такими параметрами можуть бути декартові координати , кути , віддалі та ін.

Сили , що діють на механічну систему поділяються на зовнішні та внутрішні :

Зовнішні сили - це сили взаємодії точок механічної системи з тілами , що не належать даній системі .

Внутрішні сили - це сили взаємодії між точками механічної системи .

Властивості внутрішніх сил :

1.Головний вектор внутрішніх сил системи дорівнює нулю

2. Головний момент внутрішніх сил системи відносно будь-якої точки дорівнює нулю

Маса механічної системи дорівнює сумі мас всіх точок системи

Центром мас механічної системи називається геометрична точка , радіус вектор якої визначається за формулою :

Координати центра мас визначаються за формулами :

3.4.1. Теорема про рух центра мас механічної системи .

Центр мас механічної системи рухається так , як матеріальна точка , маса якої дорівнює масі системи і на яку діє сила , що дорівнює головному векторові зовнішніх сил системи :

Диференціальні рівняння руху центра мас :

Внутрішні сили не входять в ці рівняння і не впливають на рух центра мас механічної системи .