1. Метод прогонки

Метод прогонки – это метод решения систем линейных уравнений с ленточными матрицами, т.е. матрицами, большая часть элементов которых равна нулю, а ненулевые элементы расположены на нескольких диагоналях. Более строго, матрица, для элементов которой выполняется условие , если , называется ленточной. В дальнейшем мы будем рассматривать только трехдиагональные и пятидиагональные ленточные матрицы.

Использование метода Гаусса для решения систем линейных уравнений с ленточными матрицами нерационально, так как большая часть времени работы программы будет тратиться на обработку нулевых элементов. Метод прогонки можно рассматривать как частный случай метода Гаусса, в котором учитывается то, что большая часть элементов матрицы равна нулю. Напомним, что для реализации метода Гаусса требуется арифметических действий, где - число линейных уравнений, а для реализации метода прогонки требуется арифметических действий.

1.1. Метод прогонки для трехдиагональных матриц

Запишем систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей:

Или в виде:

Рассмотрим метод прогонки для матрицы с диагональным преобразованием, то есть для таких квадратных матриц , для которых выполняются неравенства:

, , .

Напомним, что матрица с диагональным преобладанием невырожденна.

Для трехдиагональной матрицы, рассмотренной выше, условия диагонального преобладания записываются следующим образом:

Для матрицы с диагональным преобладанием метод прогонки – это частный случай метода Гаусса, в котором автоматически используется в качестве ведущего элемента максимальный по модулю элемент в строке и учитывается тот факт, что большая часть элементов матрицы равна нулю.

Идея метода прогонки заключается в том, что неизвестные представляются в виде: , , где и - неизвестные числовые коэффициенты, называемые прогоночными коэффициентами. Почему именно в таком виде? В методе Гаусса после выполнения прямого хода метода Гаусса мы получаем систему линейных уравнений с верхней треугольной матрицей. В случае трехдиагональной матрицы, после выполнения прямого хода метода Гаусса мы получаем двухдиагональную матрицу с ненулевыми ведущими элементами: , . Разделив на и оставив в левой части только , получаем .

Приведем формулы метода прогонки.

1. На первом этапе находим .

2. Затем, в порядке возрастания индексов, находим остальные прогоночные коэффициенты по формулам

, ,

где .

Первые два этапа называют прямой прогонкой. Отметим, что они аналогичны прямому ходу метода Гаусса.

3. Находим неизвестное :

4. Находим неизвестные в порядке убывания индексов:

,

Два последних этапа называют обратной прогонкой.

Рассмотрим устойчивость метода прогонки. Формулы метода прогонки можно применять, если знаменатели дробей при вычислении , , не обращаются в ноль. Кроме того, если , то при вычислениях возможно накопление погрешностей.

Теорема (корректность и устойчивость метода прогонки). Если выполняются неравенства то знаменатели дробей в методе прогонки не обращаются в ноль, и метод прогонки является устойчивым .

Число арифметических действий, необходимых для реализации метода прогонки, пропорционально числу неизвестных - . Таким образом, у метода прогонки два достоинства: малое число арифметических действий для его реализации и слабая чувствительность к вычислительным погрешностям.