5.3. Решение задач сглаживания и прогноза методом наименьших квадратов

Для решения задач сглаживания и прогноза используются различные методы, мы рассмотрим только метод наименьших квадратов для линейной и параболической зависимостей.

Линейная зависимость

Линейная зависимость выбирается, как правило, в тех случаях, когда в исходном временном ряду более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению /5/.

Пусть задан временной ряд (t_i, y_i), 1  i  n. Считаем, что y_i = f(t_i)+_i, 1  i  n. Предполагаем, что тренд f(t) – линейная функция, а именно: f(t) = a+bt.

Применим метод наименьших квадратов для решения задачи сглаживания. Запишем функцию и будем искать такие значения параметров a и b, при которых функция U достигает минимума (см. п.п. 4.2). Запишем нормальную систему:

Эта система линейных уравнений имеет единственное решение, которое находится методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. Функция f(t) = a+bt является решением задачи сглаживания.

Зная a и b, мы можем вычислить значение функции f(t) = a+bt для любого значения t. Значения прогноза y_n+1, y_n+2,…, y_n+p, находятся по формуле y_n+j = f(a, b, t_n+j), где j принимает значения 1, 2,…, p.

Параболическая (квадратичная) зависимость

Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют /5/.

Пусть задан временной ряд (t_i, y_i), 1  i  n. Считаем, что y_i = f(t_i)+_i, 1  i  n. Предполагаем, что тренд f(t) – параболическая (квадратичная) функция, а именно: f(t) = a+bt+ct².

Применим метод наименьших квадратов для решения задачи сглаживания. Запишем функцию

и будем искать такие значения параметров a, b и c, при которых функция U достигает минимума (см. п.п. 4.3). Запишем нормальную систему:

Эта система линейных уравнений имеет единственное решение, которое находится методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. Функция f(t) = a+bt+ct² является решением задачи сглаживания.

Зная a, b и c, мы можем вычислить значение функции f(t) = a+bt+ct² для любого значения t. Значения прогноза y_n+1, y_n+2,…, y_n+p, находятся по формуле y_n+j = f(a, b, с, t_n+j), где j принимает значения 1, 2,…, p.

На практике по имеющемуся временному ряду задают вид тренда (трендовой функции) f(t) и находят параметры f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции /5/. Трендовые функции, построенные методом наименьших квадратов, сравниваются между собой по величине среднеквадратичной ошибки, вычисляемой по формуле

,

где y_i– фактические значения уровней временного ряда;

– расчетные значения уровней временного ряда, ;

n – число уровней во временном ряду;

p – число параметров, входящих в формулу, описывающую тренд.

Отметим, что для линейной зависимости p = 2, а для параболической (квадратичной) зависимости p = 3.

Программа для решения задач сглаживания и прогноза приведена в примере выполнения задания 2 расчетно–графического задания 2.

Лабораторная 3

Задание 1. Построить алгоритм для интерполяции функции на отрезке интерполяционным линейным сплайном с равномерным шагом. Разработать программу, которая реализует этот алгоритм и выводит на печать значение сплайна и значение функции , значение производной сплайна и производной функции при . Размерность интерполяционной таблицы равна 21.

Задание 2. Построить алгоритм для интерполяции функции на отрезке естественным интерполяционным кубическим сплайном с равномерным шагом. Разработать программу, которая реализует этот алгоритм и выдает на печать значение сплайна и функции , значение производной сплайна и производной функции при . Размерность интерполяционной таблицы равна 21.

Варианты заданий

Номер варианта
1		-1	1	0.15
2		-2	2	0.1
3		-1.5	1.5	0.2
4		-1.2	1.2	0.3
5		-1.6	1.6	0.4
6		-1	1	0.25
7		-2	2	-0.1
8		-1.5	1.5	-0.2
9		-1.2	1.2	-0.3
10		-1.6	1.6	-0.4
11		-1	1	-0.15
12		-2	2	-0.5
13		-1.5	1.5	0.1
14		-1.2	1.2	0.2
15		-1.6	1.6	0.6
16		-1	1	-0.25
17		-2	2	0.3
18		-1.5	1.5	-0.1
19		-1.2	1.2	-0.2
20		-1.6	1.6	-0.6
21		-1	1	0.35
22		-2	2	-0.3
23		-1.5	1.5	0.4
24		-1.2	1.2	0.1
25		-1.6	1.6	0.2
26		-1	1	-0.35
27		-2	2	0.5
28		-1.5	1.5	-0.4
29		-1.2	1.2	-0.1
30		-1.6	1.6	-0.2