Обратная матрица.

Для любого действительного числа существует обратное число такое, что . Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.

• Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на обратную, как справа, так и слева получается единичная матрица .

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; при этом обратная матрица также является квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная .

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица - вырожденная и не имеет обратной матрицы.

2. Находим матрицу - транспонированную к .

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них матрицу, заменяя каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением. Такая матрица называется присоединенной (или союзной), обозначим ее .

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из её определения: .

Пример 1. Найти матрицу, обратную данной .

1. Найдем определитель матрицы разложением по первой строке =, следовательно, матрица А невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к А:

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу:

.

4. Вычисляем обратную матрицу.

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формулам: (выполнить самостоятельно).

2. Системы линейных уравнений.

Пусть дана система т линейных уравнений относительно п неизвестных . Уравнения системы пронумеруем: первое, второе и т.д. Коэффициенты при неизвестных в -том уравнении системы обозначим через (первый индекс указывает номер уравнения, второй – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент), а свободный член -того уравнения – через . Тогда система будет иметь вид:

(1)

Числа называются коэффициентами системы уравнений, а числа - свободными членами. Заметим, что в системе уравнений (1) количество неизвестных может не совпадать с числом уравнений.

• Решением системы уравнений (1) называется такая последовательность чисел , которая является решением каждого уравнения системы. Решить систему – значит найти все ее решения или убедиться в том, что их нет.

Возможны только три случая:

1) система уравнений несовместна, т.е. не имеет ни одного решения;

2) система уравнений является определенной, т.е. имеет единственное решение;

3) система уравнений является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное множество решений.

• Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

• Неизвестное называется разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит это неизвестное с коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы неизвестное не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.

Пример. Система уравнений

содержит разрешенные неизвестные , неизвестные же не являются разрешенными.

• Если каждое уравнение системы содержит разрешенное неизвестное, то такую систему называют разрешенной. Так система, приведенная в примере, является разрешенной.

Из каждого уравнения разрешенной системы выберем по одному разрешенному неизвестному, получим набор попарно различных неизвестных, который называется набором разрешенных неизвестных данной системы. Заметим, что набор разрешенных неизвестных в общем случае определен неоднозначно. Например, приведенная в примере система обладает двумя наборами разрешенных неизвестных и .

Неизвестные системы линейных уравнений, которые не входят в данный набор, называются свободными. Так, если в системе - набор разрешенных неизвестных, то неизвестные являются свободными, если же - набор разрешенных неизвестных, то свободными являются неизвестные .

• Разрешенная система уравнений всегда совместна.

• Система будет определенной, если число уравнений равно числу неизвестных, и неопределенной, если количество неизвестных больше числа уравнений.