§ 2.14. Цикл Карно. Максимальний ккд теплової машини

В

Рис.2.11

якості прикладу колового процесу розглянемо цикл Карно, що складається з двох ізотермічних і двох адіабатичних процесів (див. рис.2.11). Звичайно мова йде про рівноважні процеси. Запропонований цикл – прямий оборотний.

У процесі 1-2 робоче тіло в тепловому контакті з нагрівником, температура якого ; воно одержує від нагрівника кількість теплоти , і ізотермічно розширюється, виконуючи роботу .

У процесі 2-3 відбувається адіабатичне розширення теплоізольованого тіла, воно виконує роботу за рахунок запасу внутрішньої енергії; температура тіла падає від до .

У процесі 3-4 робоче тіло ізотермічно стискається, перебуваючи в контакті з холодильником, температура якого . Холодильнику віддається кількість теплоти . Робота тіла при цьому .

У процесі 4-1 робоче тіло знову теплоізольоване і адіабатично стискається, виконуючи роботу . Температура зростає від до .

Введемо поняття коефіцієнта корисної дії (ККД) теплової машини як відношення виконаної за цикл роботи А до одержаного (за цикл) тепла від нагрівника:

. (2.47)

Оскільки зміна внутрішньої енергії тіла за цикл рівна нулю, то , де – кількість теплоти, одержаної робочим тілом за цикл ззовні (від нагрівника та холодильника),

або , бо .

Розрахуємо ККД ідеального циклу Карно (робоче тіло – ідеальний газ, а нагрівник і холодильник характеризуються безмежно великими теплоємностями, щоб їх температури під час процесу не могли змінюватися). та , оскільки відповідні процеси ізотермічні, тому робота газу за цикл . Може здатися, що не врахована робота при адіабатичних процесах, але легко переконатися, що , бо на основі формули (2.40), адже відповідні прирости температури рівні за величиною, але протилежні за знаком.

Запишемо тепер роботи та при відповідних ізотермічних процесах на основі формули (2.27) і маємо

Вияснимо далі зв’язок відношень та . Для цього запишемо рівняння адіабати 2-3 та 4-1 за формулою (2.44):

Поділимо перше рівняння цієї системи на друге і одержимо

або .

Тепер для ККД ідеального циклу Карно маємо остаточно

. (2.48)

Аналіз співвідношення (2.48) показує, що:

1) завжди , бо одиниця могла б бути лише у двох випадках, при та при , а такі температури практично недосяжні;

2) шлях підвищення ККД теплової машини – збільшення температури нагрівника.

Саді Карно довів також теорему: ККД циклу Карно максимальний і не залежить від природи робочого тіла та конструкцій ідеального теплового двигуна, він визначається лише температурами нагрівника і холодильника.

§ 2.15. Друге начало термодинаміки. Нерівність Клаузіуса

Перший принцип термодинаміки дає кількісне співвідношення для перетворення енергії з одних видів у другі. Другий принцип визначає умови, при яких ці перетворення можливі (визначає можливі напрямки процесів). Є кілька еквівалентних якісних формулювань 2-го принципу термодинаміки.

1. Формулювання У.Томсона (Кельвіна): неможливий процес, єдиним результатом якого є перетворення тепла, одержаного від нагрівника, в механічну роботу.

Інше формулювання: неможливий періодично діючий двигун, який виконував би роботу лише за рахунок охолодження навколишніх тіл (вічний двигун ІІ-го роду неможливий).

2. Формулювання Клаузіуса: неможливий процес, єдиним результатом якого є передача енергії у формі теплоти від холодного тіла до гарячого.

Щоб одержати кількісне формулювання 2-го принципу термодинаміки, скористуємося результатами аналізу ідеальної теплової машини Карно. Для ККД циклу Карно справджується рівність

(2.49)

(позначення див. у попередньому параграфі).

Після елементарного перетворення цього співвідношення одержимо

. (2.50)

Відношення кількості теплоти до температури називають зведеною теплотою. З рівності (2.50) випливає, що сума зведених теплот для циклу Карно рівна нулю.

Всякий інший оборотний цикл можна розглядати як суму безмежної кількості елементарних циклів Карно (для цього досить розбити заданий оборотний цикл рядом адіабат та ізотерм). Для кожного з елементарних циклів справджується рівність типу (2.50). Беручи суму зведених теплот для всіх елементарних циклів Карно, одержимо

. (2.51)

– елементарна зведена теплота (зведена теплота, що відповідає елементарній ділянці процесу); кружечок на символі інтегралу означає, що інтеграл береться по всьому циклу.

Якщо цикл необоротний, то на основі теореми Карно маємо замість (2.49):

.

Повторюючи міркування, які привели вище до співвідношення (2.51), одержимо для необоротного циклу

. (2.52)

Об’єднаємо тепер формули (2.51) і (2.52) в одну і одержимо нерівність Клаузіуса

, (2.53)

котра є кількісним виразом 2-го принципу термодинаміки (знак рівності відповідає оборотним процесам, нерівності – необоротним процесам). Формулювання нерівності Клаузіуса: сума зведених теплот для будь-якого кругового термодинамічного процесу менша або рівна нулю.