П. 5 Свойства пределов, связанные с неравенствами

Теорема 1. Пусть . Тогда, если найдется номер , начиная с которого , то .

Доказательство:

Так как , то для нее имеет место соотношение (**). Предположим противное, т.е. пусть . Тогда из соотношения (**) имеем . Так как , то можно выбрать такое , что и . Тогда, начиная с некоторого номера, определяемого этим , , что противоречит условию.

Следствие 1. Пусть и существует такой номер , начиная с которого . Тогда .

Доказательство:

Рассмотрим . Последовательность сходится. Более того, начиная с некоторого номера . Тогда . Но . Следовательно, . 

Следствие 2. Пусть и, начиная с некоторого номера , . Тогда .

Следствие 3. Пусть и, начиная с некоторого номера , . Тогда .

Теорема 2. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , что .

Доказательство:

Так как , то имеет место соотношение (**), т.е. . Имеем , выберем таким, чтобы . Тогда найдет такой номер , начиная с которого, . 

Следствие 1. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , начиная с которого, .

Следствие 2. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , начиная с которого, .

Следствие 3. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , начиная с которого, .

Теорема 3. Теорема о двух милиционерах.

Пусть , , причем начиная с

некоторого номера , . Тогда .

Доказательство:

Так как последовательности и сходятся, то имеет место соотношение (**), т.е. и . Пусть . Тогда начиная с номера . Отсюда получим , или , т.е. .

П. 6 Принцип компактности и принцип полноты

Определение 1. Пусть - некоторая последовательность. Рассмотрим последовательность натуральных чисел такую, что . Тогда последовательность называют подпоследовательностью последовательности . Если последовательность сходится, то ее предел называют частичным пределом последовательности .

Пример. Рассмотрим последовательность . Тогда является подпоследовательностью последовательности .

Теорема 1. Если последовательность сходится к , то любая ее подпоследовательность сходится к .

Доказательство:

Пусть , тогда имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера . Так как члены подпоследовательно-

сти являются членами последовательности , то при имеем . Следовательно, . 

Ясно, что можно привести примеры последовательностей, которые расходятся, но их подпоследовательности являются сходящимися.

Пример. Последовательность является расходящейся, но одна ее подпоследовательность сходится к , а другая подпоследовательность сходится к .

Теорема 2. Теорема Больцано-Вейерштрасса - принцип компактности.

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:

Пусть последовательность ограничена, т.е. . Следовательно, множество ограничено. По принципу ТВГ и ТНГ имеем . Построим ССС следующим образом.

Разделим отрезок пополам. Тогда, по крайней мере, в одном из полученных интервалов содержится бесконечное число членов последовательности . Пусть является таковым. Далее, отрезок поделим пополам и выберем тот из полученных, который содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его и т.д. В результате получим СВС : , причем длина -го отрезка равна .

Назовем самый крайний левый член последовательности, который уже попадает в интервал . Далее, назовем самый крайний левый член последовательности, который уже попадает в интервал при условии, что , и т.д. получим некоторую подпоследовательность , причем .

В соответствии с теоремой Кантора о существовании и единственности точки , принадлежащей всем ССС сразу, имеем и . То по теореме о двух милиционерах подпоследовательность . 

Пример. Рассмотрим последовательность . В последовательности можно выделить подпоследовательности и , которые сходятся к 0 и 1 соответственно.

Определение 2. Последовательность называется фундаментальной, если выполняется соотношение (***): .

Другими словами, модуль разности между сколь угодно далекими членами последовательности может быть сколь угодно мал, если эти члены достаточно далеко.

Пример 3. Критерий Коши - принцип полноты.

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость. Пусть сходится, т.е. существует . Тогда имеет место соотношение (**), т.е. существует некоторый номер , начиная с которого . Тогда .

Рассмотрим . Таким образом, выпол-

няется соотношение (***), следовательно, - фундаментальная последовательность.

Достаточность. Пусть - фундаментальная последовательность. Тогда имеет место соотношение (***), т.е. начиная с некоторого номера , или . Это означает, что, начиная с некоторого номера , последовательность ограничена. Тогда в соответствие с принципом компактности из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Тогда имеет место соотношение (**), т.е. начиная с номера .

С другой стороны, последовательность фундаментальная. Следовательно, имеет место соотношение (***), т.е. начиная с номера (в силу построения подпоследовательности ). Пусть . Тогда, начиная с номера . Таким образом, выполняется соотношение (**), т.е. последовательность сходится.