П. 3 Сходящиеся последовательности
Определение
1. Последовательность
называется сходящейся,
если
,
где
- БМП, а число
.
Тогда число
называется пределом
последовательности
.
Обозначается
(
при
,
стремящимся к бесконечности, стремится
к (или равно)
).
Определение
1*. Последовательность
сходится к
,
т.е.
если если для любого положительного
(эпсилон)
найдется номер, зависящий от ,
такой, что, как только n>N
выполняется соотношение
:
(**)
.
Покажем, что определения 6 и 6* эквивалентны.
Пусть
в смысле определения 6. Тогда
,
где
- БМП. Следовательно,
- БМП, тогда выполняется соотношение
(*), т.е.
.
Получим соотношение (**).
Теперь
пусть
в смысле определения 6*. Тогда выполняется
соотношение (**). Полагая
,
получим
,
которая является БМП в соответствие с
соотношением (*). Тогда
.
Теорема 1. О единственности предела
Если
последовательность
сходится, то она имеет единственный
предел.
Доказательство:
.
Пусть последовательность
имеет два предела, т.е.
,
,
для определенности. Так как
то имеет место соотношение (**), т.е.
начиная с некоторого номера
.
Так как
то выполняется (**), т.е. начиная с некоторого
номера
.
Пусть
тогда,
начиная с номера
.
Пусть
Тогда пересечение этих двух множеств,
задаваемых неравенствами, пусто, т.е.
нашлось, по крайней мере, одно
для которого не выполняется (**). Это
означает, что предела не существует.
Теорема 2. Теорема Вейерштрасса - необходимое условие сходимости
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство:
Пусть
последовательность
сходится, тогда имеет место соотношение
(**), т.е. начиная с некоторого номера
,
.
Положим
,
тогда
.
Рассмотрим
,т.е.
,что
озна- чает ограниченность последовательности
.
Теорема 3. Признак Больцано-Вейерштрасса.
Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху(снизу), то она сходится.
Доказательство:
Пусть
последовательность
монотонно возрастает (
)
и ограничена (
).
Тогда из условия ограниченности следует,
что
- непустое ограниченное сверху множество.
Следовательно, по теореме о ТВГ (глава
III,
п. 4) множество
,
значит, и последовательность
имеет ТВГ.
Обозначим
и покажем, что
.
В
силу определения ТВГ имеем
.
Кроме того, последова- тельность
монотонно возрастает, поэтому найдется
такой номер
,
что
т.е.
.
Следовательно,
или
.
Таким образом, существует такой номер
,
начиная с которого
.
Пример.
Последовательность
монотонно возрастает, но не ограничена,
следовательно,
расходится.
Пример.
Последовательность
ограничена, но не является монотонной,
следовательно, расходится.
Пример.
Пусть
и
,...
или
(*). Последовательность
монотонно возрастает и ограничена
сверху, например, числом
.
Покажем это ММИ.
Пусть
.
Тогда
.
Тогда существует
.
Возведем (*) в квадрат и перейдем к пределу
при
:
,
т.е.
.
Таким образом,
.
П. 4 Арифметические свойства пределов
Теорема
1.
Пусть последовательности
и
сходятся, тогда сходится и последовательность
,
причем
.
Доказательство:
Так
как
и
,
то
,
,
где
и
- БМП. Рассмотрим
,
причем
- БМП. Следовательно,
.
Следствие. Сумма любого конечного числа сходящихся последовательностей, является сходящейся последовательностью, предел которой равен сумме соответствующих пределов.
Теорема
2.
Если
,
(пределы
последовательностей xп
и
yп
равны a
и
b
соответственно), то
.
Доказательство:
В
силу определения предела последователь-
ности имеем
где
,
- БМП. Рассмотрим
,
при этом
- БМП. Следовательно,
Теорема
3.
Если пределы последовательностей xп
и
yп
равны a
и
b
соответственно для любого натурального
числа n
и yп
≠0,
b≠0
(
,
),
то
.
Доказательство:
Докажем сначала лемму.
Лемма.
Если последовательность
сходится
,
то последовательность
- ограничена.
Пусть
.
Тогда имеет место соотношение (**). Пусть
в (**)
т.е.
.
Тогда существует номер
,
начиная с которого
или
.
Следовательно,
или
.
Пусть
.
Тогда
.
▲
Рассмотрим
.
Так как
- БМП, а
- ограничена, то
- БМП. Таким образом,
.