17. Непрерывные отображения топологических пространств и их свойства. Гомеоморфизм.

Определение. , - топологические пространства.

называется непрерывным, если .

Утверждение. , – непрерывны - непрерывно.

Утверждение. – непрерывно .

Определение. - гомеоморфизм, если – биекция и – непрерывны.

Если – гомеоморфизм, то и называются гомеоморфными топологическими пространствами.

Определение. называется топологическим вложением в , если – гомеоморфизм.

Утверждение. - гомеоморфизм - гомеоморфизм

Гомеоморфизм сохраняет топологические свойства.

19.Компактные и связные топологические пространства. Критерии компактности метрического пространства.

Опр. Пусть - топологическое пространство с топологией . Покрытием пространства наз-ся множество такая, что .

Опр. наз-ся компактным топологическим пространством, если из его покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Св-ва:

1. компактен.

2. – компактное мн-во, , – замкнутое – компактное.

3. – компактное мн-во – замкнуто и ограничено.

4. – компактно оно ограничено.

5. компактны компактно.

Пусть – метрическое пр-во

Опр. Последовательность наз-ся фундаментальной, если : .

Опр. наз-ся полным метрическим пространством, если – фундаментальная посл-ть сходиться в .

Опр. наз-ся предкомпактным метрическим пространством, если из можно выделить – фундаментальную посл-ть.

Th (критерий компактности метрического пр-ва):

Пусть метрическое пр-во с метрикой , тогда утверждения эквивалентны:

1. – компактно.

2. Из любого счетного покрытия мн-ва можно выделить конечное подпокрытие.

3. Из любой конечной последовательности в можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Th:

, () – непрерывная ф-ция на . Тогда если – компакт – компактное мн-во.

Th (Вейерштрасса):

, () – непрерывная ф-ция, множество – компактно. Тогда достигает на своего наибольшего и наименьшего значения.

Опр. Топологическое пространство наз-ся связным, если – открытые:

1) 2) 3)

Опр. наз-ся несвязным метрическим пространством, если оно не явл-ся связным.

Th (о непрерывном образе связного мн-ва):

, () – непрерывное. Если связно – связно.

Th (Больцано-Коши):

, () – непрерывное отображение на связном множестве . Тогда для ф-ция принимает значения на в промежутке от до .

19.Кривые в и и способы их задания. Натуральная параметризация кривой.

Опр. Параметризованной кривой в наз-ся непрерывное отображение , - интервал вещественной оси. , , .

Обозначается парам. кривая . наз-ся кривой класса , если .

Опр. Носителем кривой наз-ся образ .

Опр. Кривая наз-ся регулярной в точке , если .

наз-ся регулярной, если она регулярна для .

– вектор скорости, – скорость.

– вектор ускорения, – ускорение.

Опр. Пусть , – две параметризованные кривые. Они наз-ся эквивалентными, если диффеоморфизм .

Опр. Пусть , – две параметризованные кривые. Диффеоморфизм , , такой что , наз-ся заменой параметров.

Опр. Кривой наз-ся класс эквивалентных гладких параметрических кривых.

Опр. Кривая наз. натурально параметризованной кривой, если .

Опр. Длиной дуги между наз-ся число

Св-ва:

1. Длины дуг эквивалентных параметризованных кривых равны.

2. Для любой регулярной параметризованной кривой эквивалентная ей натуральная параметризованная кривая.

Th: Для любой регулярной параметризации кривой эквивалентная ей натурально параметризованная кривая . При этом, если – другая натуральная параметризация, то , где , .

Натуральная параметризация – изгиб отрезка без сжатия.

– натуральная параметризация. – длина дуги кривой.

Опр. . наз-ся линией в , если окрестность и регулярная параметризованная кривая : – гомеоморфизм. При этом – локальная параметризация в окрестности .

Если для линии глобальная параметризация , она наз-ся простой.

Способы задания:

1. Параметрическое ур-ие ,

2. Явное ур-ие , – всегда простая линия

регулярность.

В линии задаются как пересечение 2-х явным образом заданных поверхностей

3) Неявное ур-ие

Если в т. вектор-градиент то по теореме о неявной ф-ции и гладкая ф-ция в этой точке определяется как ,

Опр. Для вектор наз-ся касательным вектором в точке

Если - регулярная , то прямая проходящая через по направлению наз-ся касательной в точке к кривой.

Уравнение касательной: